Fórmula general de recurrencia usando funciones de potencia

Question

Varias fuentes proponen encontrar una fórmula general para el término $n^{\text{th}}$ de una secuencia definida por una relación recurrente asumiendo que el término está definido por una función de potencia.

Por ejemplo, consideremos los números de Fibonacci:

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$

$$u_0=u_1=1$$

Sea $u_n=kx^n$:

$$x^2=x+1$$

$$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

En este punto, normalmente se afirma que la raíz doble implica dos formas para $u_n$, ambas de las cuales satisfacen la recurrencia.

$$u_{n1}=k_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

$$u_{n2}=k_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

Por lo tanto, la solución más general es una combinación de las dos anteriores:

$$u_n=k_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + k_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

Mi pregunta es - ¿cómo se puede justificar este paso? Si se verifica que $u_{n1}$ es una fórmula general, no parece ser correcta ya que se obtienen valores inconsistentes para $k_1$ si se consideran $u_0$ y $u_1$:

$$u_0=k_1=1$$

$$u_1=k_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=1 => k_1 = \frac{2}{1+\sqrt{5}}$$

Entonces, ¿esto significa que la suposición original de $u_n=kx^n$ es incorrecta desde el principio?

Answer 1

Has malinterpretado el propósito de $k_1$ y $k_2$: sirven para seleccionar una de las infinitas secuencias que satisfacen la recurrencia

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\,.\tag{1}$$

Sea $\Sigma$ el espacio vectorial de todas las secuencias de números reales; la suma de vectores está definida en términos de términos, de modo que

$$\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle+\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle=\langle x_n+y_n:n\in\Bbb N\rangle\,.$$

Las secuencias que satisfacen $(1)$ resultan ser un subespacio de $2$ dimensiones de $\Sigma$. Sea $\varphi=\frac12\left(1+\sqrt5\right)$ y $\hat\varphi=\frac12\left(1-\sqrt5\right)$, las dos raíces de $x^2-x-1=0$. Entonces las secuencias $\langle\varphi^n:n\in\Bbb N\rangle$ y $\langle\hat\varphi^n:n\in\Bbb N\rangle$ son secuencias linealmente independientes que satisfacen $(1)$, por lo que cada secuencia que satisface $(1)$ es una combinación lineal de estas dos secuencias. Así, si $v=\langle v_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia en particular que satisface $(1)$, existen constantes $k_1$ y $k_2$, dependiendo de $v$, tales que

$$v_n=k_1\varphi^n+k_2\hat\varphi^n\tag{2}$$

para cada $n\in\Bbb N$. Se utilizan los valores iniciales $v_0$ y $v_1$ para encontrar $k_1$ y $k_2$.

El punto aquí es que estos valores de $k_1$ y $k_2$ se aplican solo a la secuencia específica determinada por los valores iniciales $v_0$ y $v_1$. Si $v_0=1$ y $v_1=\varphi$, entonces $k_1=1$ y $k_2=0$, y obtenemos la secuencia de potencias de $\varphi$. Si $v_0=1$ y $v_1=1$, al sustituir $n=0$ y $n=1$ en $(2)$ se muestra que $k_1+k_2=1$ y $k_1\varphi+k_2\hat\varphi=1$, y obtenemos un par de valores muy diferentes para $k_1$ y $k_2$.