¿Cuál es la forma correcta de pensar en conjuntos cociente y relaciones de equivalencia?

Question

Tal vez no haya una forma correcta de pensar en ello, pero me gustaría saber cómo piensan los demás al respecto. Aquí están mis problemas/preguntas, después de mis definiciones:

Definición 1. Sea $X$ un conjunto y $\sim$ una relación de equivalencia en $X$. Entonces $[x]:=\{y \in X \mid y \sim x\}$ y $X/{\sim} := \{[x] \mid x \in X\}$.

Mi pregunta se podría resumir en "¿Cómo debería pensar en $X/{\sim}$?". Considera $\mathbf{Z}/{\sim}$ con $z_1 \sim z_2$ $\iff$ $z_1-z_2$ es par. Entonces uno obtiene $\mathbf{Z}/{\sim} = \{[0],[1]\}=\{\{...,-4,-2,0,2,4,...\},\{...,-5,-3,-1,1,3,5,...\}\}.$

La forma en que pienso sobre el conjunto de todas las clases de equivalencia es que se recogen todos los elementos equivalentes en un conjunto para todos los elementos y se obtiene el conjunto de la extrema derecha en el ejemplo. Luego se elige un "nombre" para cada uno de esos conjuntos, llamándolo por uno de sus miembros. En el ejemplo se tienen las elecciones canónicas de $[0],[1]$. Si ahora elijo un elemento arbitrario $a \in \mathbf{Z}/{\sim}$, entonces existe un $z \in \mathbf{Z}$ tal que $a=[z]$. Esto se debe a que simplemente puedo llamar al conjunto $a$ por uno de sus representantes, en este caso $z$ o en el ejemplo anterior $[0]$ o $[1]$. Al definir una función, entonces basta con definirla en todos los "nombres" $[z]$ porque puedo darle a cada objeto en $\mathbf{Z}/{\sim}$ uno. La función está bien definida entonces se reduce a demostrar que es independiente del nombre que se le haya dado a cada objeto. ¿Es esta una forma válida de pensar sobre este concepto o hay otras formas, quizás mejores, de hacerlo? No estoy seguro si estoy satisfecho con la forma en que me lo explicaría a mí mismo, ya que el "darle un nombre" no suena muy riguroso. Supongo que también se podría ver esto como una especie de asignación que asigna a cada conjunto de elementos equivalentes un miembro de él (lo cual no está bien definido) y luego le asigna un valor de modo que este proceso esté bien definido.

Editar: Lo siguiente aún no está del todo claro para mí. Al definir una función de un conjunto cociente a otro conjunto, generalmente se define de la siguiente manera: $$f: X/{\sim} \to A, \ [x] \mapsto a(x).$$ ¿Cómo debería pensar en esto? ¿Primero elijo un sistema (arbitrario) completo de representantes, defino esta función para ellos y luego muestro que no depende de la elección del sistema completo, o mapeo todos los $[x]$, $x \in X$ y luego me doy cuenta de que las imágenes de los elementos equivalentes son iguales, lo que significa que la función está bien definida?

Answer 1

Sinceramente, la forma en la que has expresado todo esto me parece muy acertada.

El único problema es que generalmente no se puede esperar poder elegir un elemento "canónico". Así que generalmente estamos satisfechos con la ambigüedad del "nombre" $[x]$ para la clase de equivalencia que contiene $x$. Formalmente, simplemente se usa el hecho de que las afirmaciones $[x]=[y]$ y $x \sim y$ son lógicamente equivalentes, y se recuerda (como tú dices) comprobar que todas las definiciones basadas en esos "nombres" están bien definidas.

De hecho, es incluso algo problemático afirmar la existencia de una asignación, para cada clase de equivalencia, de un miembro de esa clase. Existe un axioma especial de teoría de conjuntos dedicado a la afirmación de que dichas asignaciones existen de manera completamente general: el Axioma de Elección. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que se puede construir una asignación de elección manualmente sin necesidad de ese axioma, y hay muchas situaciones en las que no es necesario preocuparse por una asignación de elección.

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Respecto a tu última edición, en esta situación no es necesario elegir representantes. Para definir una función $f : X/\!\sim \, \to A$, primero puedes definir una función $F : X \to A$, y luego demostrar que $F$ tiene la siguiente propiedad:

Para todo $x,y \in X$, si $x \sim y$ entonces $F(x)=F(y)$.

Luego puedes escribir la fórmula $$f([x])=F(x)$$ y te garantizas de que esta fórmula da una función bien definida $f : X / \! \sim \, \to A$.

Answer 2

La idea es ver la estructura a través de una lente que descarta (o ignora por el momento) cierta información. De hecho, incluso en el lenguaje coloquial, los matemáticos tienden a decir cosas como, "Al hacer el módulo de (en otras palabras, ignorando) detalles como X, Y y Z, la historia importante es esta..."

El lenguaje humano hace esto cuando nos abstraemos, perdiendo algo de información sobre perros particulares cuando los subsumimos en la categoría de perro. (Esto sería algo así como "Los animales hacen módulo de 'misma especie'.")

Esto se generaliza a flechas en una categoría... típicamente puedes ver la imagen de un morfismo (un subobjeto del codominio) como una versión de baja resolución del dominio. Este es el contenido del primer teorema de isomorfismo en grupos, anillos, etc., pero puedes lograr hacer cosas similares en muchas categorías, si tienes suerte. Consulta el libro introductorio de teoría de categorías de Tom Leinster para esta perspectiva.

Es un poco el único truco que tenemos en matemáticas... para entender X, mira los morfismos fuera de X ("sombras de X") y los morfismos hacia X ("cosas de las cuales parte de X es una sombra").

Answer 3

La forma en que pienso sobre el conjunto de todas las clases de equivalencia es que uno colecta todos los elementos equivalentes en un conjunto para todos los elementos y obtiene el conjunto en la extrema derecha en el ejemplo. Luego uno elige un "nombre" para cada uno de esos conjuntos, llamándolo por uno de sus miembros.

Sí, eso es exactamente lo que estamos haciendo.

Que la función esté bien definida entonces se reduce a mostrar que es independiente del nombre que se le haya dado a cada objeto.

Sí, nuevamente.

Sin embargo, sospecho que podrías estar perdiendo / malentendiendo el objetivo de todo este ejercicio. Nuestra intención no es solo dar un nombre a una clase de equivalencia que hemos producido. El punto de definir una relación de equivalencia es para formalizar el concepto de identificar diferentes elementos del conjunto de forma rigurosa.

Puede haber condiciones en las que queramos considerar dos elementos de un conjunto como 'iguales', incluso cuando no son realmente iguales en el sentido normal. Por ejemplo, en Geometría, considera triángulos en un plano. Dos triángulos con vértices diferentes no son iguales en el sentido más estricto, ya que sus vértices son puntos diferentes. Sin embargo, podemos considerar dos triángulos congruentes como 'iguales', y esta forma de pensar podría resultar útil.

De manera similar, en tu caso, necesitamos clasificar los enteros solo basándonos en si son pares o impares (y decir que dos enteros son 'iguales' si tienen la misma paridad). Una relación de equivalencia es una forma de formalizar esto, ya que divide nuestros elementos en dos clases diferentes, cada una consistiendo en elementos que necesitamos que sean iguales. Por lo tanto, $\{n | n \text{ es par} \}$ ahora es solo un único elemento de tu conjunto, es decir, $[0]$. Ya no nos importa que sea el conjunto de números pares. De manera similar, para los números impares también.

En resumen, una relación de equivalencia generaliza el concepto de lo que significa que dos elementos sean iguales. El conjunto cociente simplemente representa el conjunto original, sin embargo, con una noción de igualdad diferente a la de antes.

Answer 4

Lo considero como la imagen de un mapa con el conjunto original como el dominio. Para cada cociente $Z/\sim$ el mapa $Z\to Z/\sim$ que asigna cada elemento de $Z$ a su clase de equivalencia es un tal mapa. Y para cada mapa sobreyectivo $Z\to Y$, podemos definir una relación de equivalencia $\sim$ donde la preimagen de cada elemento de $Y$ es una clase de equivalencia. Y entonces $Y$ y $Z/\sim$ tienen la misma cardinalidad.

Este tipo de pensamiento se extiende a todo tipo de estructuras de cociente. Cocientes de grupos, anillos, espacios vectoriales, espacios topológicos, etc. vienen a la mente. Pero "misma cardinalidad" puede ser reemplazado por "isomórfico". Básicamente, los cocientes de un conjunto/grupo/anillo/... son exactamente todas las imágenes de los morfismos correspondientes (mapas para conjuntos, homomorfismos para grupos, mapas continuos para espacios topológicos, etc.), hasta el isomorfismo.

Answer 5

$X/{\sim}$ es una partición de $X$. $\sim$ es la relación entre dos elementos en la misma parte de la partición. Una relación de equivalencia es una relación que aparece de esta manera a partir de una partición.

En general, no deberías pensar tanto en las clases de equivalencia en "nombres": en un entorno abstracto, puede que no haya una forma obvia de elegirlos. De hecho, ser capaz de elegir simultáneamente un representante para todas las clases de cualquier relación de equivalencia es (bastante directamente) equivalente al axioma de elección. En algunos casos (como para los enteros), esto es más fácil, pero aún así, la elección nunca es realmente "canónica" de ninguna manera significativa.

En lugar de eso, deberías pensar en las clases de equivalencia como subconjuntos del dominio. No necesitan nombres especiales, se nombran a sí mismas. Puede ser útil llamar a los enteros impares y pares usando $1$ y $0$, pero eso no es mejor que simplemente llamarlos por lo que son: el conjunto de enteros impares y el conjunto de enteros pares.

Por supuesto, para un conjunto arbitrario de enteros, generalmente no tenemos ningún nombre en absoluto (y aún menos para un subconjunto arbitrario de un conjunto arbitrario). Pero está bien. No tenemos nombres bonitos para la mayoría de los números entre $0$ y $1$, tampoco.

Re: editar: cuando definimos un mapa $X/{\sim}$ a través de una fórmula de la forma $[x]_\sim \mapsto f(x)$ para alguna función de $x\in X$, no es común (en mi experiencia) pensar en un conjunto completo de representantes. Puedo pensar en dos formas más naturales de interpretar lo que sucede en esos casos, la primera un poco más concreta, la segunda tal vez un poco más avanzada, pero también más explícita en mi opinión:

1. Toma cualquier $c\in X/{\sim}$, observa que es de la forma $[x]_\sim$ para algún $x$, y luego demuestra que el resultado $f(x)$ no depende de la elección de $x$, es decir, la fórmula $\bar f(c)=f(x)$ está bien definida.
2. Muestra que si $x_1\sim x_2$, entonces $f(x_1)=f(x_2)$, y luego usa el hecho de que el mapa cociente $X\to X/{\sim}$ es universal en el sentido de que para cualquier mapa $f\colon X\to Y$ con la propiedad de que $f(x_1)=f(x_2)$ siempre que $x_1\sim x_2$, hay una flecha vertical única que hace que el siguiente diagrama conmute: $$\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{ \raise.6em\rlap{\scriptstyle #1} \lower.3em{\mathord{\diagup}} \raise.52em{\!\mathord{\nearrow}} }} \begin{CD} && Y\\ & \diaguparrow{ f} @A\bar fAA \\ X @>>> X/{\sim} \end{CD}$$

Por supuesto, son todas la misma cosa, solo vistas (un poco) de manera diferente.