Mapeo conforme entre anillos

Question

¿Existe algún mapa conforme entre $D_1= \lbrace z \in \mathcal{C} \; ; \; 1 \leq |z| \leq 2 \rbrace$ y $D_2 = \lbrace z \in \mathcal{C} \; ; \; 1 \leq |z| \leq 3 \rbrace$?

Según el teorema de Schottky, no lo hay. Pero estoy buscando otra forma. Algunas pistas serán útiles.

Answer 1

Un enfoque a este problema es usar el principio de reflexión de Schwarz. Supongamos que $$f : \{1<|z|<3\}\to \{1<|z|<2\}$$ es conforme. Reemplazando $f$ con $f(2/z)$ si es necesario, podemos asumir que $f$ lleva un borde interno (círculo unitario) al otro borde interno (también círculo unitario). La reflexión a través del círculo interno extiende $f$ a un mapa conforme $$\{3^{-1}<|z|<3\}\to \{2^{-1}<|z|<2\}$$ Extendiendo nuevamente sobre el círculo interno, obtenemos un mapa $$\{3^{-3}<|z|<3\}\to \{2^{-3}<|z|<2\}$$ y así sucesivamente. El resultado es un mapa conforme entre discos perforados. La singularidad en $0$ es removible, gracias a la acotación. Siendo holomorfo, $f$ debe ser localmente Lipschitz; satisface una desigualdad de la forma $|f(z)|\le C|z|$ cerca de $0$. Pero esto contradice el hecho de que lleve $3^{-n}$ a $2^{-n}$ para infinitos valores enteros de $n.

Un enfoque diferente se presenta en ¿Cuándo podemos encontrar bijecciones holomorfas entre anillos?