Largas cadenas de conjuntos Dedekind finitos

Question

Esta es una variación de la pregunta original con cardinales amorfos reemplazados por conjuntos de Dedekind finitos.

Los conjuntos de Dedekind finitos son conjuntos que no tienen subconjuntos contables, y es bien sabido que esta es una afirmación más débil que un conjunto no tener una cadena contable de subconjuntos con respecto a la relación de inclusión estricta. Por ejemplo, como Joel señaló en un comentario, puede haber conjuntos infinitos de reales que son Dedekind finitos, y se puede construir una secuencia de secciones de dicho conjunto. Un conjunto así también tendría una cadena incontable de subconjuntos, pero yo estoy interesado solo en cadenas bien ordenadas.

Quiero saber cuán largas pueden ser esas cadenas bien ordenadas, y tengo las mismas 3 preguntas que en la pregunta anterior (trabajamos en $\sf ZF$, y una "cadena" significa una cadena con respecto a la relación de inclusión estricta):

1. Dado un ordinal $\alpha$, ¿es consistente que exista una cadena de conjuntos infinitos de Dedekind finitos de longitud $\alpha$?

2. ¿Es consistente que para cada ordinal $\alpha$ exista una cadena de conjuntos infinitos de Dedekind finitos de longitud $\alpha$?

3. ¿Es consistente que exista una cadena de clase de longitud $\sf Ord$ de conjuntos Dedekind finitos?

Además, si la respuesta a alguna de estas preguntas es no, ¿cambia cuando consideramos cardinales Dedekind finitos en lugar de conjuntos reales (con la inclusión estricta reemplazada por la desigualdad estricta de cardinales)?

Answer 1

La respuesta a todo esto es sí. Monro construyó un modelo donde para cada ordinal $\alpha$ hay un conjunto Dedekind-finito mapeado en $\alpha$.

Esto por sí solo nos da cadenas de longitud arbitraria. Tome tal $A$ que está mapeado en $\alpha$ y $f\colon A\to\alpha$ testificando eso, y deje $A_\beta=f^{-1}\beta$, la preimagen del segmento inicial no del elemento, entonces esto es una cadena de longitud $\alpha$.

La construcción de Monro tiene la ventaja de que hay un conjunto Dedekind-finito canónico que está mapeado en $\alpha$, y la clase de estos es compatible con el modelo, lo que nos permite agregarlo como predicado para obtener una cadena de longitud $\rm Ord$.

Monro, G.P., Resultados de independencia sobre conjuntos Dedekind finitos.