Prueba de que la multiplicación de raíces primitivas de la unidad es una raíz primitiva de la unidad.

Question

No puedo resolver este ejercicio. ¿Podrías ayudarme?

Sea $w$ una raíz primitiva 38-ésima de la unidad. Sea $z$ una raíz primitiva 22-ésima de la unidad. Demuestra que ($w.z$) es una raíz primitiva 209-ésima de la unidad.

Lo que tengo hasta ahora:

Entiendo que, para demostrar que ($w.z$) es una raíz 209-ésima de la unidad, debo demostrar que:

$(w.z)^k = 1 \iff k \equiv 0$ (209)

Intenté desglosar el "$\iff$" en dos partes.

Primero, la parte "$\Longleftarrow$":

Sé que $k = 209 * q = 19*11*q$ (con q $\in \mathbb{N})$.

Entonces $(w.z)^k$ = $w^{209}*z^{209}$ = $w^{19*11*q}*z^{19*11*j}$ =

$(w^{19})^{11*q}.(z^{11})^{19*j}$ = $1^{11*q}1^{19*j}$ = $1$ (Porque w es una raíz 38=19*2-ésima de la unidad y z es una raíz 22=11*2-ésima de la unidad)

¿Es esto correcto?

Además, no sé cómo probar la implicación "$\Longrightarrow$".

¡Gracias!

Answer 1

Para la parte '$\Leftarrow$', tu solución es en su mayoría correcta, sin embargo cambiaría la línea $$(w^{19})^{11*q}.(z^{11})^{19*j}=1^{11*q}1^{19*j}=1$$ a $$(w^{19})^{11*q}.(z^{11})^{19*q}=(-1)^{11*q}(-1)^{19*q}=(-1)^{30*q}=1$$ ya que sabemos que $w^{19}$ y $z^{11}$ son raíces primitivas $2$-ésimas de la unidad, por lo que ambos son iguales a $-1$ (no estoy seguro de dónde viene la $j$ en tu solución).

Para la parte '$\Rightarrow$', supongamos $(w\cdot z)^{k}=1$. Así obtenemos la ecuación $$w^{k}=z^{-k}.$$ Elevando ambos lados a la potencia de $22$, tenemos que $w^{22k}=(z^{22})^{-k}=1^{-k}=1$, donde hemos utilizado el hecho de que $z$ es una raíz $22$-ésima de la unidad. Dado que $w$ es una raíz primitiva $38$-ésima de la unidad, vemos que $22k$ debe ser divisible por $38$. Dado que $19$ es un primo que divide a $38$ pero no a $22$, deducimos que $19$ divide a $k$.

De manera similar, elevando $w^{k}=z^{-k}$ a la potencia de $38$, vemos que $38k$ es divisible por $22$, y así $11$ divide a $k$ (el mismo razonamiento que en el párrafo anterior).

Por lo tanto, $k$ es divisible por $11\cdot19=209$, como se requiere.

Answer 2

$w=e^{2i\pi m / 38}$ donde $\gcd(m,38)=1$.

$z=e^{2i\pi n / 22}$ donde $\gcd(n,22)=1$.

Por lo tanto, $(wz)^k = e^{2i\pi k m/ 38} e^{2i\pi k n/ 22} = e^{2i\pi k (11m+19n)/(2*19*11)} = e^{2i\pi k (11m+19n)/209}$.

Por lo tanto, $(wz)^k = 1 \Leftrightarrow k (11m+19n)/209 \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k(11m+19n) \in 209\mathbb{Z} \Leftrightarrow 209 | k(11m+19n) \Leftrightarrow 209 | k$ donde el último $\Rightarrow$ sigue de $\gcd(m,38)=\gcd(n,22)=1$

Answer 3

$w=1^{\frac{1}{38}}$ & $z=1^{\frac{1}{22}}$

$w z=1^{\frac{1}{38}+\frac{1}{22}}\to w z=1^{15/209}$