Tengo la siguiente pregunta. ¿Existe una función holomorfa $\varphi\in\mathcal{O}(\mathbb{D},\mathbb{D}^{n})$ tal que $\mathbb{T}^n\subseteq\overline{\varphi(\mathbb{D})},$ donde $n\geq2$?
Respuesta
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Esto es cierto para $n=2$. Voy a utilizar un resultado de la C. L. Belna, P. Colwell y G. Piranian de La radial comportamiento de los productos de Blaschke, un caso especial de que se lee como: existe una holomorphic función de $f:\mathbb D\to\mathbb D$ y un subconjunto denso $A\subset \mathbb T$ tal que para cada a $a\in A$, el clúster de conjunto de $f$$a$$\mathbb T$. (En la notación de su teorema, hacer $\{\zeta_m\}$ denso en $\mathbb T$ y deje $K_m=\mathbb T$ todos los $m$.)
Para $n=2$, el mapa de $\varphi(z)=(z,f(z))$ tiene la propiedad deseada. En efecto, por la elección de $f$ el cierre de $\varphi(\mathbb D)$ contiene $A\times \mathbb T$, que es denso en $\mathbb T^2$.
Creo que la respuesta debe ser afirmativa general $n$, pero mi intento de con $\varphi(z)=(z,f(z),f(f(z)))$ no fue concluyente.
