Estoy tratando de entender la prueba de la proposición:
Cualquier secuencia convergente está acotada.
En mi libro de texto, el autor usa la definición de convergencia para una secuencia $\{a_n\}\to l$ y fija $\epsilon=1$ de manera que existe un número natural $N$ tal que \begin{align*}n>N&\implies|a_n-l|<1\\&\implies |a_n|<1+|l|.\end{align*} Luego $\{a_n\}$ está acotada por $\pm U$ donde $U=\max\{|a_1|,|a_2|,|a_3|,\dots,|a_{N-1}|,|a_N|,1+|l|\}.
Lo que no entiendo de esta prueba es ¿por qué tenemos que fijar $\epsilon=1$? ¿No sería suficiente si simplemente hubiéramos fijado algún $\epsilon>0$ y luego afirmado que \begin{align*}n>N &\implies |a_n-l|<\epsilon\\&\implies |a_n|<\epsilon+|l|.\end{align*} En este caso, $\{a_n\}$ estaría acotada por $\pm M$ donde $M=\max\{|a_1|,|a_2|,|a_3|,\dots,|a_{N-1}|,|a_N|,\epsilon+|l|\}$. Entonces, ¿por qué el autor decide fijar $\epsilon$ en 1 cuando sería suficiente fijar algún $\epsilon$? Por ejemplo, ¿qué pasaría si hubiera fijado $\epsilon=\pi$, la prueba sería incorrecta?
