¿Encontrar el límite?

Question

¿Cómo calcular este límite?

$$\lim _{x\to 1}\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x-1}}$$

Una imagen para mayor claridad.

Answer 1

$$\lim_{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } }{ \sqrt [ 3 ]{ x-1 } } \right) = } \lim_{ x\rightarrow 1 }{ \left( \sqrt [ 6 ]{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ 3 } }{ { \left( x-1 \right) }^{ 2 } } } \right) = } \lim_{ x\rightarrow 1 }{ \left( \sqrt [ 6 ]{ \frac { { \left( { x }-1 \right) ^{ 3 }\left( { x }+1 \right) }^{ 3 } }{ { \left( x-1 \right) }^{ 2 } } } \right) = } \lim_{ x\rightarrow 1 }{ \left( \sqrt [ 6 ]{ \left( { x }-1 \right) \left( { x }+1 \right) ^{ 3 } } \right) =0 } $$

Answer 2

Podemos reescribir la función: $$\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt[3]{x-1}}=(x+1)^{\frac{1}{2}}(x-1)^{\frac{1}{2}}(x-1)^{-\frac{1}{3}}=(x+1)^{\frac{1}{2}}(x-1)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$$ Así que

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt[3]{x-1}}=\lim_{x\to 1}(x+1)^{\frac{1}{2}}(x-1)^{\frac{1}{6}}=0$$