¿Cuál es $\Im\Big(\frac{e^{(i-t)x}}{i-t}\Big)$?

Question

¿Cuál es $\Im\Big(\frac{e^{(i-t)x}}{i-t}\Big)$? (Parte imaginaria de la expresión entre paréntesis, donde $t$ es constante)

En realidad, este era un ejercicio de integral ($\int_0^\infty \sin(x) e^{-tx}dx$), que también se puede resolver con la integración por partes (lo que hice), pero también vi este método que utiliza la fórmula de Euler y creo que parece mucho más fácil y rápido que la integración por partes, si solo supiera cómo escribirlo como una fracción real.

$\Im\Big(\frac{e^{(i-t)x}}{i-t}\Big)=\Im\Big(\frac{(i+t)e^{(i-t)x}}{(i+t)(i-t)}\Big)=\frac{-1}{1+t^2}\Im\Big((i+t)e^{(i-t)x}\Big)= ?$

Ahora estoy atascado, ¿qué es $(i+t)$ en los paréntesis, cómo puedo deshacerme de él?

Answer 1

Use $$\frac{1}{i-t} = \frac{-i-t}{(i-t)(-i-t)} = \frac{-i-t}{1+t^2}$$ Por lo tanto $$\begin{eqnarray} \Im\left(\frac{\exp\left(x (i-t)\right)}{i-t}\right) &=& \Im\left(\frac{\left(-i-t\right)\exp\left(x (i-t)\right)}{1+t^2}\right) \\ &=& \frac{\exp(-t x)}{1+t^2} \Im\left(\left(-i-t\right)\exp\left(i x \right)\right) \\ &&= \frac{\exp(-t x)}{1+t^2} \left(-t \sin(x) - \cos(x)\right) \end{eqnarray}$$