Ruta de sonido en el océano donde la velocidad del sonido varía linealmente con la profundidad

Question

En un océano, descrito con coordenadas cartesianas $x-y$ donde $y=0$ en el lecho marino, la velocidad del sonido varía linealmente con $y$: $$v(y)=c+by$$

Un libro de texto dice que, si una onda sonora es emitida en el lecho marino, en un ángulo $\theta$ hacia arriba, entonces la onda de sonido viajará un camino circular, de radio $$R=\frac{c}{b\sin\theta}$$

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Sin embargo, mis cálculos no coinciden con esta afirmación.

Supongamos que el camino del sonido está descrito por $y=f(x)$.

Según la ley de Snell, $$\frac{\sin \theta_{\text{incidente}}}{v(y)}=\text{constante}=k$$

Dado que $\tan\theta_{\text{incidente}}=f’$, $$kv=\frac{f’}{\sqrt{1+f’^2}}\implies f’^2=\frac{(kv)^2}{1-(kv)^2}\implies 1+f’^2=\frac1{1-(kv)^2}$$

Diferenciando ambos lados con respecto a $x$, $$2f’f’’= \frac{2k^2v}{(1-(kv)^2)^2}\frac{dv}{dx}= \frac{2k^2v}{(1-(kv)^2)^2}\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}= \frac{2k^2vb}{(1-(kv)^2)^2}f’$$

Por lo tanto, $$f’’=\frac{k^2bv}{(1-(kv)^2)^2}$$

Calculando el radio de curvatura: $$R=\frac{(1+f’^2)^{3/2}}{f’’}=\frac{\sqrt{1-(kv)^2}}{k^2bv}\ne \text{una constante}$$ Por lo tanto, el camino no puede ser un círculo.

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1. ¿Son correctos mis cálculos?
2. Si es así, ¿por qué hay una discrepancia entre la afirmación del libro de texto y mis cálculos?

Answer 1

Creo que tu afirmación de la Ley de Snell es incorrecta porque solo tienes en cuenta un ángulo de incidencia. Además, tu $\theta$ es el ángulo que hace la tangente con el eje x, lo cual está implícito cuando dices $\tan(\theta)=f'$, pero el índice de refracción varía con $y$, esto significa que para los propósitos de esta ley, el ángulo de incidencia sería $\phi=\pi/2-\theta$. Creo que sería más preciso escribir algo como esto

$$ n(y)\sin(\phi) = n(y+\Delta y)\sin(\phi + \Delta \phi) $$

Por supuesto, esto solo es verdadero cuando $\Delta y \rightarrow 0$. Te ofrezco una alternativa para resolver este problema. La ley de Snell es una consecuencia del Principio de Fermat

la longitud óptica del camino seguido por la luz entre dos puntos fijos, A y B, es un extremo. La longitud óptica se define como la longitud física multiplicada por el índice de refracción del material.

Wikipedia hace un buen trabajo explicando cómo aplicar este principio, por lo que deberías poder adaptarlo fácilmente para el caso de ondas sonoras

$$L(x, y, y')= \frac{1}{v(y)}\sqrt{1+y'^2}$$

Luego puedes aplicar la ecuación de Euler-Lagrange

$$ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial {y'}} = 0 $$

Si sigues este cálculo, identificarás la fórmula para la curvatura, cuya inversa resulta en

$$ R = \frac{v(y)}{b\sin(\theta)}$$

Aquí, ya tomé en cuenta el hecho de que $\phi$ y $\theta$ difieren por $\pi/2$. Nota que cuando $y=0$ y $\theta=\theta_0$, esta ecuación resulta en la ecuación que te dio tu libro de texto. El radio de curvatura no necesita ser constante a menos que se especifique explícitamente que es un movimiento circular uniforme.