¿Cómo encuentro una función para minimizar otra función?

Question

Dados los valores constantes $b, n \in \mathbb{N}$. La tarea es encontrar una función $r(b,n)$ tal que $\text{rango}(r)=[1,b]$ y el valor de $\frac{b}{r(b,n)}(n+2^{r(b,n)})$ sea mínimo. ¿Es necesario tratar necesariamente con EDP's, o puedo reducir la tarea estableciendo $r$ como constante y encontrando el mínimo de $f(r)=\frac{b}{r}(n+2^{r})$ (encontrar raíces de la derivada y luego expresar $r$ a través de $b$ y $n$).

Supongo que debería ser $r=1$, para así reducir la parte exponencial de la función, pero quiero demostrar esto rigurosamente.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Definitivamente puedes simplemente minimizar $f(r)=\frac br(n+2^r)$ aunque tal vez sea más claro definir $s=r(b,n)$ y usar $s$ para evitar reutilizar $r. Solo usas $r(b,n)$, así que cualquier dos funciones que estén de acuerdo en esos argumentos devolverán el mismo valor para $f(r(b,n))$. Luego puedes definir $r(x,y)$ para cubrir el rango de interés: $[1,b]$. Al minimizar, necesitas restringir $r$ a ese intervalo.

El mínimo no dependerá de $b$ pero sí de $n. No veo una solución algebraica.