Valor esperado de la suma de un número aleatorio de variables aleatorias i.i.d.

Question

La pregunta:

$X_1$, $X_2$, etc. son variables aleatorias no negativas enteras independientes e idénticamente distribuidas. $N$ es una variable aleatoria no negativa entera independiente de $X_1$, $X_2$, etc., y $Y$ = $X_1 + X_2 + X_3 + … + X_N$ . (Tomamos $Y = 0$ si $N = 0$).

Demuestra que $\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X_1]\mathbb{E}[N]$.

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Mi intento:

Sé que la función generadora de probabilidad $G_Y(s)$ de $Y$ es igual a $G_N(G_X(s))... pero no estoy seguro de cómo eso es útil aquí.

Mi intuición me lleva en esta dirección:

$\mathbb{E}[Y] = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[Y|N=n]\mathbb{P}(N=n)$

$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[nX_1|N = n]\mathbb{P}(N=n)$

$= \sum\limits_{n=0}^{\infty} n \mathbb{E}[X_1|N = n]\mathbb{P}(N=n)$ (¿Es válido este paso??)

Pero no sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

$$\begin{aligned}\mathsf{E}Y & =\sum_{n=0}^{\infty}\mathsf{E}\left[Y\mid N=n\right]\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}\mathsf{E}\left[Y\mid N=n\right]\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}\mathsf{E}\left[X_{1}+\cdots+X_{n}\mid N=n\right]\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}\mathsf{E}\left[X_{1}+\cdots+X_{n}\right]\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathsf{E}X_{1}+\cdots+\mathsf{E}X_{n}\right]\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\sum_{n=1}^{\infty}n\mathsf{E}X_{1}\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\mathsf{E}X_{1}\sum_{n=1}^{\infty}n\mathsf{P}\left(N=n\right)\\ & =\mathsf{E}X_{1}\mathsf{E}N \end{aligned} $$

segunda igualdad: porque el primer término es $0$ ya que $\mathsf E[Y\mid N=0]=0$.

cuarta igualdad: porque $N$ es independiente con respecto a los $X_i$

quinta igualdad: linealidad de la esperanza.

séptima igualdad: el factor $\mathsf EX_1$ no depende del índice $n$ por lo que puede ser sacado de la suma y colocado antes del símbolo de suma.