Considera la integral
$$\mathcal{I} := \int \sin(x) \cos(x) \, \mathrm{d} x$$ $ \newcommand{\II}{\mathcal{I}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} $ Esta es una de mis integrales básicas favoritas para pensar como instructor, porque a primera vista, hay muchas formas diferentes de resolverla, muchas son accesibles para estudiantes de Cálculo I, y pueden dar algunas ideas sobre la naturaleza de la integración y algunas identidades trigonométricas. Por ejemplo:
- La sustitución con $u = \sin(x)$ da $$\II = \frac{\sin^2(x)}{2} + C$$
- La sustitución con $u = \cos(x)$ da $$ \II = - \frac{\cos^2(x)}{2} + C$$
- (Señalado en comentarios por Koro) Haciendo la sustitución $$ u = \sec(x) \implies \d u = \sec(x) \tan(x) \, \d x= \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, \d x$$ Entonces $$\begin{align*} \II &= \int \sin(x) \cos(x) \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} \, \d u\\ &= \int u^{-3} \, \d u\\ &= - \frac{1}{2\sec^2(x)} + C\\ &= - \frac{\cos^2(x)}{2} + C \end{align*}$$ Una sustitución similarmente motivada: $$ u = \csc(x) \implies \d u = -\cot(x) \csc(x) \, \d x = - \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \, \d x $$ produce $$\begin{align*} \II &= -\int \sin(x) \cos(x) \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, \d u\\ &= -\int u^{-3} \, \d u\\ &= \frac{1}{2\csc^2(x)} + C\\ &= \frac{\sin^2(x)}{2} + C \end{align*}$$
- Usando $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ fácilmente lleva a $$\II = -\frac{\cos(2x)}{4} + C$$
- La integración por partes diferenciando $\sin(x)$ da $$\II = \sin^2(x) - \II$$ lo cual dará una solución previa al resolver para $\II$.
- La integración por partes diferenciando $\cos(x)$ da $$ \II = -\cos^2(x)- \II$$ que, de manera similar, produce una solución previa una vez que resolvemos para $\II$.
- Usando la sustitución de Weierstrass $t = \tan(x/2)$ obtenemos $$ \II = \int \frac{2t}{1+t^2} \frac{1-t^2}{1+t^2} \frac{2}{1+t^2} \, \mathrm{d}t = \frac{2t^2}{(1+t^2)^2} + C=\frac{2 \tan^2(x/2)}{(1 + \tan^2(x/2))^2} + C $$
- Podemos usar el seno y coseno complejos: $$ \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \qquad \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$ Entonces $$ \II = \int \frac{e^{2ix} - e^{-2ix}}{4i} \, \mathrm{d} x = - \frac 1 8 \left( e^{2ix} + e^{-2ix} \right) + C = -\frac 1 4 \cos(2x) + C $$
(Advertencia para Novatos: La constante $C$ en cada expresión puede no ser la misma que en las demás. Estas respuestas son equivalentes para la integral, pero las soluciones sin los términos $+C$ no son expresiones iguales. Estas insinúan ciertas identidades trigonométricas, por eso las encuentro interesantes.)
Esto nos ha dado un conjunto de soluciones para $\II$ a través de algunos métodos básicos y otros menos básicos pero accesibles.
Mi pregunta es, ¿qué otras soluciones puedes idear para $\II$?
Estoy particularmente interesado en respuestas que:
- claramente no sean equivalentes funcionalmente a las ya dadas
- den respuestas diferentes a las ya expresadas (quizás una pista de otras identidades o conceptos de interés)
- utilicen métodos que no se ven en una clase típica de cálculo, o métodos raramente utilizados
- utilicen técnicas inusuales pero ingeniosas y efectivas
¡o cualquier combinación de estos! No tengo motivación real para esto más que mi propia curiosidad, pero tengo curiosidad por ver qué ideas pueden tener ustedes.
