¿Cuál es $\sup_n f_n$?

Question

Sea $\{f_n\}$ una secuencia de funciones medibles en $\mathbb R^d$. ¿Cuál es el significado de $\sup_n f_n$ ? ¿Es $$\sup\{f_n(x)\mid n\in\mathbb N, x\in \mathbb R^d\}\ \ ?$$

Answer 1

No. Es la función definida para todo $x$ por $$(\sup_n f_n)(x)=\sup_n\bigl\{f_n(x)\bigr\}.$$

Como ejemplo ilustrativo, para $2$ funciones $f$ y $g$, $\;(\sup\{f,g\})(x)$ es $f(x)$ cuando $f(x)\ge g(x)$ y $g(x)$ cuando $f(x)

Answer 2

Tal vez un ejemplo que pueda explicarlo. Sea $$f_n(x)=1-x^n, \quad 0\le x\le 1$$ Entonces $$\sup_nf_n(0)=1$$ (esto también es un $\max$ porque se alcanza, a veces $\sup$ causa confusión) y al tomar el límite $n \to \infty$ para cualquier $x$ fijo en $(0,1)$ $$\sup_nf_n(x)=1$$ (esto es precisamente un $\sup$ porque el valor $1$ realmente nunca se alcanza pero es verdaderamente el límite superior más bajo). Pero $$\sup_nf_n(1)=0$$