Me gustaría demostrar que $$Ext^*_{\mathbb F_2C_2}(\mathbb F_2,\mathbb F_2)\cong Ext^*_{\mathbb ZC_2}(\mathbb Z,\mathbb F_2)$$ Me dijeron que usara que el funtor tensorial $-\otimes_{\mathbb ZC_2}\mathbb F_2C_2:\mathbb Z_2C_2-Mod\rightarrow\mathbb F_2C_2-Mod$ es adjunto izquierdo de la restricción de escalares (considerando un módulo $\mathbb ZC_2$ como un módulo $\mathbb F_2C_2$ reduciendo módulo 2). Esto implica que $$ Hom_{\mathbb F_2C_2}(\mathbb F_2,\mathbb F_2)\cong Hom_{\mathbb ZC_2}(\mathbb Z,\mathbb F_2)$$ pues $\mathbb Z\otimes_{\mathbb ZC_2}\mathbb F_2C_2\cong \mathbb F_2$. Por lo tanto me gustaría probar que $Ext^i_{\mathbb F_2C_2}(\mathbb F_2,\mathbb F_2)\cong Ext^i_{\mathbb ZC_2}(\mathbb Z,\mathbb F_2)$ para todo $i$ ya que esto induciría la isomorfismo de anillos graduados. Sin embargo no tengo idea de cómo hacerlo. Intenté usar la definición de $Ext$ como la cohomología del $Hom$ de la resolución proyectiva pero no tenía los módulos adecuados para usar el isomorfismo de $Hom$.
¿Alguien tiene alguna idea? ¡Gracias!
