Cálculo estocástico para finanzas: Expectativa condicional del modelo de árbol binomial

Question

Estoy leyendo "Cálculo Estocástico para Finanzas Volumen 1", página 32.

La esperanza condicional de $S_2$ sabiendo que $1=H$ es $p*S_2(HH) + q*S_2(HT) = 0.5*16 + 0.5*4 = 10$

Pero ¿cómo calculo la esperanza condicional de $S_3$ sabiendo que $1=H$? La respuesta dada es $12.50$ pero no pude razonarla.

Espero que alguien pueda ayudar.

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: desde $S_1(H)$ llegas a

1. $S_3(HHH)$ con probabilidad $p^2$
2. $S_3(HHT)$ con probabilidad $pq$
3. $S_3(HTH)$ con probabilidad $qp$
4. $S_3(HTT)$ con probabilidad $q^2$

Answer 2

$1 = H$ por lo que en la época 1 comienzas con un valor de $8$. Si los lanzamientos de la segunda y tercera moneda son ambas caras, entonces lo duplicas dos veces para obtener $32$. Esto sucede con probabilidad $\frac{1}{4}$. Si una es H y una es T, lo duplicas y lo divides por la mitad, en cualquier orden, (probabilidad total $\frac{1}{2}$) obtienes $8$, y si ambas son T (probabilidad $\frac{1}{4}$) obtienes $8/2/2 = 2$. La expectativa es $$ \frac{32 + 2\cdot 8 + 2}{4} = 12.5 $$