¿Tienen sentido estados con energía promedio infinita?

Question

¿Tiene sentido que los estados con energía promedio infinita?

Para ser concretos, consideremos un oscilador armónico con el Hamiltoniano $H=a^\dagger a$ y los estados propios $H|n\rangle=n|n\rangle$, $\langle n|m\rangle=\delta_{n,m}$. Luego preparamos un estado $$|\psi_m\rangle = c \sum_{n=1}^\infty\frac1{n}|n^m\rangle,\qquad m\in\mathbb{N}.$$ Este estado es normalizable (con una constante de normalización $c^{-2}=\sum_{n=1} \frac1{n^2}$) y parece ser un estado cuántico aceptable. Sin embargo, su energía promedio $$\langle\psi_m|H|\psi_m\rangle=c^2\sum_{n=1}^\infty n^{m-1}$$ es infinita para cualquier $m\ge0$.

No hay una contradicción directa aquí, pero nunca antes había pensado en estos estados y parecen desconcertantes. ¿Tienen sentido? ¿Aparecen en la teoría/experimento? ¿Se necesita una cantidad infinita de energía para preparar dicho estado a partir del estado de vacío?

Answer 1

Si adoptas la perspectiva frecuentista, el hecho de que $\langle E\rangle$ no exista significa simplemente que si mides las energías de $N$ sistemas preparados de manera idéntica y promedias los resultados, entonces ese número no se acerca a un límite bien definido cuando $N\rightarrow \infty$.

Si el espectro del Hamiltoniano es no acotado (como muy a menudo sucede), entonces esos estados deben existir en el espacio de Hilbert, por lo que ciertamente aparecen matemáticamente. Personalmente, no encuentro nada necesariamente no físico en ellos; $\langle E\rangle \rightarrow \infty$ no significa que cualquier medición devuelva infinito como resultado, sino que aumentar el número de mediciones tiende a aumentar la energía promedio.

Por ejemplo, considera una partícula en una caja de longitud $a$ con una función de onda $\psi(x) = 1/\sqrt{a}$. Esto corresponde a que la posición de la partícula es completamente desconocida (salvo por el hecho de que está en la caja). Si calculas $\langle E\rangle$ en este estado, verás que diverge a infinito. La partícula en una caja es, por supuesto, una idealización matemática, pero lo es también cada modelo que utilizamos en última instancia, y dado que éste es muy probablemente un modelo útil, no estoy tan dispuesto a descartarlo.

Tu ejemplo es más complicado de lo que parece ya que [$\psi$ no satisface las condiciones de contorno asociadas al dominio de $H$]

@ZeroTheHero plantea un excelente punto. $H$ (cuyo dominio son funciones dos veces débilmente diferenciables con condiciones de frontera de Dirichlet) es autoadjunto (como todos los Hamiltonianos deben ser), pero es correcto que la $\psi$ que he escrito no se encuentra en su dominio. En este sentido, no podemos escribir $\langle E\rangle = \langle \psi,H\psi\rangle$ ¡simplemente porque el lado derecho es ilegal!

Esto no significa necesariamente que $\langle E \rangle$ esté indefinido, pero debería generarnos sospechas. Lo correcto es descomponer $\psi$ en términos de los autovectores normalizados de $H$: $$\psi = \sum_n c_n \phi_n \qquad H\phi_n = E_n\phi_n$$ lo cual siempre se puede hacer debido a la autoadjunción de $H$. Luego definimos $\langle E\rangle := \sum_n E_n |c_n|^2$. Es fácil ver que esto coincide con $\langle \psi,H\psi\rangle$ cuando $\psi\in\mathrm{dom}(H)$, pero de hecho es ligeramente más general, y es este cálculo el que diverge a infinito. De hecho, si calculamos ingenuamente $\langle \psi,H\psi\rangle$ diferenciando $\psi$ dos veces, obtenemos cero.

Answer 2

El valor esperado infinito para la energía surge debido al hecho de que el potencial armónico se extiende hasta el infinito. Como resultado, uno puede seguir subiendo la escalera de estados indefinidamente. Prácticamente, tal potencial infinitamente alto no puede existir. Después de cierto nivel de energía, no habrá más estados ligados y solo quedarán estados de dispersión.

Por lo tanto, no hay contradicción y tal comportamiento poco intuitivo es una consecuencia de la naturaleza no física del potencial. Algo similar ocurre con el pozo de potencial infinito donde la primera derivada de la función de onda es discontinua. Nuevamente, teóricamente no hay contradicción, pero físicamente es inalcanzable.

Answer 3

Para interpretar $\langle E \rangle = \infty$ uno tiene que distinguir entre los valores posibles, el valor esperado y el valor más probable de la energía.

Todos los autovalores $\{1,2,3,\dots\} =\mathbb N$ del Hamiltoniano son energías posibles para el estado que sugieres (con ese $m=1$ por supuesto). Cada autoenergía es un número finito, pero no hay una energía más alta, el espectro es ilimitado superiormente.

Este estado, sin embargo, tiene la energía más baja como la más probable, y la probabilidad disminuye con el aumento de la energía.$$ (p_1,p_2,p_3,\dots) = \frac{1}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\dots \right) $$ Entonces, las energías más bajas son aquellas que se obtienen todos los días al medir la energía en ese estado.

Ahora, para la expectativa (o valor promedio) no es necesariamente un valor posible ni el más probable. Además, la distribución para este estado tiene un valor medio indefinidamente grande (con $E_n = n$)$$ \langle E\rangle = \sum_{n=1}^\infty p_n E_n = \frac{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} = \infty, $$ pero lo que se obtiene con la medición siempre es un número finito en el espectro. Todavía es posible, (en teoría al menos,) por casualidad, medir una energía tan alta como se desee, siempre y cuando se sigan midiendo partículas en ese estado para siempre, ya que es poco probable obtener esas bajas energías todos los días.