Mi pregunta surge de la proposición 8.3 en el texto de geometría algebraica de Shigeru Iitaka:
Sea $f:W\rightarrow S$ un morfismo sobreyectivo entre superficies proyectivas no singulares. Sea $E$ un divisor en $W$ tal que $f(E) =p$ es un punto. Entonces para cualquier divisor $D$ en $S$, se tiene el número de intersección en $W$: $(f^*D, E)_W=0$.
Aquí está la prueba que dio el autor:
Básicamente queremos mostrar que $(f^*D,E)_W =\operatorname{deg}(\mathcal{O}(f^*D)|_E)$ es cero. El autor afirma que $\mathcal{O}(f^*D)|_E \cong \mathcal{O}_E$ y se prueba de la siguiente manera:
\begin{align*} \mathcal{O}(f^*D)|_E & = (f^* (\mathcal{O}(D))|_E \\ & = f|_E^* (\mathcal{O}(D)|_p) \quad \quad - \star \\ & \cong \mathcal{O}_E \quad \quad -\star\star \end{align*}
Donde $f|_E:E\rightarrow \{p\}$ denota la restricción de $f$ a $E$. Estoy perdido en los pasos etiquetados como ‘$\star$‘ y ‘$\star\star$’
Q1) ¿Qué significa exactamente $\mathcal{O}(D)|_p$ en este contexto? Creo que necesitas restringir a un divisor en $S$. Pero $\{p\}$ es un punto en $S$ y por lo tanto restringir a simplemente $’p’$ no tiene sentido. Dado que esta restricción tiene sentido, ¿pasamos al paso anterior a $\star$?
Q2) Naturalmente, no puedo entender cómo se deriva $\star\star$, es decir, ¿por qué la línea anterior es isomorfa a $\mathcal{O}_E$.
Creo que si entiendo cómo se deriva $\star$ podré resolver el resto. ¡Agradecería mucho cualquier ayuda proporcionada! ¡Gracias, y les deseo un feliz año nuevo! :)
