Entonces, desde hace un tiempo he estado buscando una demostración corta pero concisa del hecho de que
Cada complejo CW es paracompacto.
Finalmente encontré la siguiente demostración (la más corta hasta ahora) de este teorema, pero no pude entender algunas cosas que hizo el autor aquí:
El lema al que se hace referencia (4ta línea desde abajo) es el siguiente:
Lema. Sea $K$ compacto, $C\subseteq K$ cerrado, y $\mathcal U=\{U_\alpha\}$ un recubrimiento abierto de $K$. Si $\{\psi_\alpha\}$ es una partición de la unidad subordinada a $\{C\cap U_\alpha\,:\,U_\alpha \in\mathcal U\}$, entonces existe una partición de la unidad $\{\Psi_\alpha\}$ subordinada a $\mathcal U$ tal que $\Psi_\alpha\big|_C=\psi_\alpha$ para cada $\alpha$.
También, el soporte de $x$, escrito $C(x)$, se define de la siguiente manera:
Definición. Si $(X,\mathcal E)$ es un complejo celular, el soporte de $A\subseteq X$, $C(A)$, es la intersección de todos los subcomplejos de $(X,\mathcal E)$ que contienen $A$.
He entendido todos los pasos lógicos individuales en la prueba. La parte que me confunde es la siguiente:
El autor demostró al final que $(X_{\Gamma_0},U_{\Gamma_0},p_0)$ no puede ser maximal en $T$. ¿Cómo esto implica que haya una partición de la unidad subordinada a $\mathcal U$?
¡Quizás estoy pasando por alto algo muy trivial aquí! La prueba se toma de The Topology of CW Complexes de Lundell.
P.D.: Lo siento por la imagen, pero escribir toda la prueba hubiera sido muy tedioso.
