Resolviendo $2^x=x^3$ Algebraicamente

Question

¿Cómo puedo resolver $2^x=x^3$ algebraicamente?

Podría tomar $\log_2(\cdot)$ en ambos lados, pero seguiría atascado.

Answer 1

Como comentó Ahmed S. Attaalla, las únicas soluciones analíticas se dan en términos de la función Lambert, a saber $$x_1=-\frac{3 W_0\left(-\frac{\log (2)}{3}\right)}{\log (2)}\qquad \text{y} \qquad x_2=-\frac{3 W_{-1}\left(-\frac{\log (2)}{3}\right)}{\log (2)}$$ y puedes evaluarlos usando la expansión en serie dada en la página de Wikipedia.

Si no quieres o no puedes usar la función Lambert, sólo los métodos numéricos harían el trabajo. Empieza graficando tu función y notarás que las raíces están alrededor de $1$ y $10$. Usando esos valores como estimaciones iniciales, utiliza el método de Newton para obtener las siguientes iteraciones $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.00000 \\ 1 & 1.61969 \\ 2 & 1.41482 \\ 3 & 1.37493 \\ 4 & 1.37347 \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 10.0000 \\ 1 & 9.94143 \\ 2 & 9.93954 \end{array} \right)$$ que son las soluciones para seis cifras significativas.

Answer 2

Esta ecuación sigue la ecuación general $$a^x = x^{b}$$ y puede resolverse, para $a \neq 1$, de la siguiente manera: \begin{align} a^{x} &= x^{b} \\ e^{x \, \ln a} &= x^{b} \\ x^{b} \, e^{- x \, \ln a} &= 1 \\ x \, e^{- x \, \ln a/b} &= 1 \\ - \frac{x \, \ln a}{b} \, e^{- x \, \ln a/b} &= - \frac{\ln a}{b} \\ u \, e^{u} &= - \frac{\ln a}{b} \, \hspace{5mm} u = - \frac{x \, \ln a}{b} \\ u = - \frac{x \ln a}{b} &= W_{0}\left(- \frac{\ln a}{b}\right) \\ x &= - \frac{b}{\ln a} \, W_{0}\left(- \frac{\ln a}{b}\right), \end{align} donde $W_{0}(x)$ es la rama principal de la función Lambert W que está definida como la solución a la ecuación $W(x) \, e^{W(x)} = x$. Nota que en el caso $a=1$ la solución es $x = e^{2 \pi i/b}$.

Para el problema propuesto se determina que: $$2^{x} = x^{3} \, \text{ lleva a } \, x = - \frac{3}{\ln 2} \, W\left(- \frac{\ln 2}{3}\right).$$