Estrategia óptima para Rock Paper Scissors con diferentes recompensas

Question

Imagina Rock Paper scissors, pero donde el ganar con la otra mano le da un diferente recompensa.

• Si usted gana con el Rock, consigue \$9. Your opponent loses the \$9.

• Si usted gana con Papel, consigue \$3. Your opponent loses the \$3.

• Si usted gana con Tijeras, consigue \$5. Your opponent loses the \$5.

• Si el empate, usted recibe $0

  Mi primera intuición sería que usted debe tocar Rock con una probabilidad de 9/(9+3+5), Papel con 3/(9+3+5) y Tijeras con 5/(9+3+5) sin embargo este parece mal, ya que no toma en consideración el riesgo que usted se exponga a (si usted juega Paper, usted tiene una ventaja de \$3 but a downside of \$5).

Así que la pregunta, en un juego -- ¿cuál es la estrategia ideal.

Edit: Por "ideal" de la estrategia, me refiero a jugar en contra de una confrontación jugador que sabe que su estrategia.

Answer 1

Deje $(x_1,x_2,x_3)$ ser el primer jugador de la estrategia (es decir, sus probabilidades de jugar a piedra, papel y tijeras, respectivamente), y deje $(y_1,y_2,y_3)$ ser el segundo jugador de la estrategia. El beneficio esperado para el primer jugador es $$ P(x,y)=9(x_1y_3-x_3y_1)+3(x_2y_1-x_1y_2)+5(x_3y_2-x_2y_3). $$ Para limitar la probabilidad de que las sumas sean $1$, tomamos $x_3=1-x_1-x_2$$y_3=1-y_1-y_2$. Así $$ P(x,y)=9\left(x_1(1-y_1-y_2)-(1-x_1-x_2)y_1\right)+3(x_2y_1-x_1y_2)+5\left((1-x_1-x_2)y_2-x_2(1-y_1-y_2)\right) \\ =9(x_1-y_1)+ 17(x_2 y_1 -x_1y_2) + 5(y_2-x_2). $$ Las primeras derivadas son cero cuando $$ \frac{\partial}{\partial x_1}P(x,y)= 9 -17y_2=0 \\ \frac{\partial}{\partial x_2}P(x,y)= 17y_1 -5=0 \\ \frac{\partial}{\partial y_1}P(x,y)=-9+17x_2 = 0\\ \frac{\partial}{\partial y_2}P(x,y)=-17x_1+5=0, $$ o en $(x1,x2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)=(5/17, 9/17, 3/17)$. El equilibrio de Nash es jugar para vencer a cada movimiento con probabilidad proporcional al movimiento de la recompensa.

Para comprobar que esto es un equilibrio de Nash, supongamos $y_1=5/17$$y_2=9/17$. Entonces $$ P(x)=9(x_1-5/17)+17\left(x_2 (5/17)-x_1 (9/17)\right)-5(x_2-9/17)=0; $$ es decir, el primer jugador del beneficio esperado es cero con cualquier estrategia. Así que el primer jugador puede mejorar su rentabilidad mediante el cambio de su estrategia de forma unilateral, y por simetría, ni el segundo jugador; esta es la definición de un equilibrio de Nash.

Answer 2

Esta tabla resume los resultados posibles en este juego de una vez: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Hero Plays} & \text{Villain Plays} & \text{Hero's Earnings} \\ \hline R & R & +\$0 \\ R & P & -\$3 \\ R & S & +\$9 \\ P & R & +\$3 \\ P & P & +\$0 \\ P & S & -\$5 \\ S & R & -\$9 \\ S & P & +\$5 \\ S & S & +\$0 \end{array} $$ Suponga que todos los resultados son igualmente probables. Dejando $X$ ser nuestras ganancias se pueden calcular nuestros ingresos esperados dado que la elección la hacemos \begin{align*} \Bbb E(X|R) &= \frac{1}{3}\cdot (\%#%#%3)+\frac{1}{3}\cdot(\$9) \\ &= -\%#%#%3 \\ &= \$2 \\ \Bbb E(X|P) &= \frac{1}{3}\cdot (\%#%#%0)+\frac{1}{3}\cdot(-\$5) \\ &= \%#%#%\frac{5}{3} \\ &= -\$\frac{2}{3} \\ \Bbb E(X|S) &= \frac{1}{3}\cdot (-\%#%#%5)+\frac{1}{3}\cdot(\$0) \\ &= -\%#%#%\frac{5}{3} \\ &= -\$\frac{4}{3} \\ \end{align*} De acuerdo a estos cálculos, la única estrategia ganadora es tocar rock en cuyo caso el valor esperado es $0)+\frac{1}{3}\cdot (-\$2$.

Nota: lo anterior presupone que El héroe hace una elección contra un villano que es jugar al azar.

Edit: se me pasó la "Nash-Equilibrio" de la etiqueta cuando leí por primera vez esta pregunta. Probablemente usted está buscando algo un poco más sofisticado que este! Voy a mantener la respuesta publicada en el caso de los demás a encontrar estos cálculos útiles.

Answer 3

Si "óptima" significa equilibrio de Nash (es decir, un estado que es estable wrt. pequeñas perturbaciones de estrategias), que puede ser calculada. Si usted asume que $x_1$ es la probabilidad de que el primer jugador para jugar Rock, $x_2$ su probabilidad de jugar Tijeras y $1-x_1-x_2$ su probabilidad de jugar el Papel, y lo mismo para $y_i$, entonces la Rentabilidad del primer jugador es $$f(x_1, x_2, y_1, y_2) = x_1 (9y_2 - 3 (1-y_2-y_3)) + x_2 (-9 y_1 + 5(1-y_2-y_3)) + (1-x_1-x_2)(3y_1-5y_2)$$ o algo como eso. La condición de Nash es que todas las derivadas parciales se desvanecen; probablemente, usted puede fácilmente calcular las probabilidades y comprobar, si adivinas el derecho de soluciones (la solución debe ser único en este caso con $x_i$ $y_i$ distinto de cero).

Sin embargo, en circunstancias diferentes, óptima puede meen cosas diferentes; si ellos son buenos amigos y saber que es un juego de suma cero, sino que también puede jugar tanto de Rock de todos los tiempo.