¿Cómo son los primeros dígitos de $\pi$ encontrado?

Question

Desde Pi o $\pi$ es un número irracional, sus dígitos no se repita. Y no hay manera de encontrar fuera de los dígitos de $\pi$ ($\frac{22}{7}$ es sólo una estimación aproximada pero no exacta). Estoy hablando de dígitos exactos por la multiplicación o la división o cualquier otra operación en los números.

Entonces, ¿cómo son los primeros dígitos de $\pi$ encontrados

3.1415926535897932384626433832795028841971693993...

De hecho, más de 100.000 dígitos de $\pi$ (fuentes - 100.000 dígitos de $\pi$)

¿Cómo es eso posible? Si estos dígitos de $\pi$ se encuentran, entonces debe ser posible computar $\pi$ con algunas operaciones. (Soy consciente de romper el círculo en infinitos pedazos método, pero que no da resultados exactos.)

Cómo son estos dígitos de $\pi$ encontrado con precisión? Puede ser posible que una raíz cuadrada de un número que sea igual a $\pi$?

Answer 1

Usted hace la suposición de que no hay manera de calcular los dígitos de $\pi$. Que no es cierto; existen muchas fórmulas para calcular los dígitos de $\pi$ (con sus propias pruebas de corrección). Uno de los más simples (aunque muy lento) fórmulas es la fórmula de Leibniz para $\pi$.

Answer 2

Una forma en que los antiguos matemáticos fue utilizado para calcular el perímetro de un regular $n$-gon inscrito en un círculo de diámetro $1$. Si uno encuentra la fórmula para el perímetro de la inscrita $n$-gon, uno tiene una sucesión convergente a $\pi$, es decir, para cualquier precisión que requieren existe una $n$ que esta fórmula es lo suficientemente preciso. Esto no es muy práctico. En realidad estos antiguos matemáticos tales como Zu Chongzhi utilizar métodos iterativos para calcular los primeros dígitos de $\pi$.

Desde una perspectiva moderna, en el análisis rara vez se define $\pi$ como la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Aquí hay una manera: Deje que $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función que satisface $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ y la derivada en $0$ siendo $1$. A continuación, se puede probar que una función de este tipo es único y es realizada por la función $\exp(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$. Uno define entonces $\sin(z)=\displaystyle\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2}$. Considere la posibilidad de su restricción en $\mathbb{R}$, entonces $\pi$ se define como el menor número real positivo de $x$ que $el pecado(x)=0$. A continuación, inmediatamente hacemos muy fuertes herramientas para calcular $\pi$.

Answer 3

Que un número es irracional sólo significa que no puede ser calculado simplemente por dividir un número entero por otro. Las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos son irracionales, pero que puede ser calculada por medio de otros métodos que son sólo un poco más complicado que la división larga. (Estos métodos vienen abajo a la suma, resta, multiplicación, división, y a veces una cantidad limitada de prueba-y-error pasos.)

Métodos de calcular los dígitos de los números irracionales simplemente encontrar algunos computable cantidad que se sabe que está muy cerca del valor verdadero de la cantidad deseada. Si usted tiene una fórmula que se sabe que está dentro de los límites de $x \pm 0.0005$, por ejemplo, usted simplemente debe calcular el valor de la fórmula para un número suficiente de lugares que usted puede con precisión la vuelta a la más cercana 0,001, y entonces usted sabe que para asegurarse de que los tres primeros dígitos de $x$ a la derecha del punto decimal. Para calcular los primeros $100,000$ dígitos de $\pi$ requiere evaluar una fórmula conoce a estar dentro de los límites de $\pi \pm (0.5\times10^{-100000}).$ Esto es difícil, pero no imposible.

Answer 4

Y no hay manera de encontrar fuera de los dígitos de Pi por la multiplicación o la división o cualquier otra operación en los números.

Le faltan algunas palabras clave no: Pi no puede ser encontrado por cualquier número finito de operaciones. Pi es típicamente se calcula a través de una infinita serie de operaciones que se sabe que convergen en el valor real. El más antiguo conocido de la serie fue el perímetro de la n-ágonos; varias otras series se han encontrado que son más fáciles de calcular o convergen más rápido, de que creo que el Chudnovsky de la serie es actualmente el más rápido.

Answer 5

El uso de cualquier fórmula para $\pi$ e implementar numéricamente. Un ejemplo es $$\pi=4\arctan 1=4\int_0^1{dx\más de 1+x^2}\doteq{4\sobre N}\left({3\over4}+\sum_{k=1}^{N-1}{1\over 1+(k/N)^2}\right)=:p_N\ .$$ Aquí hemos aproximado de la integral por un trapezoidal suma. Haciendo los cálculos que uno encuentra, por ejemplo, $p_{100}=3.14157598692313$.

Si desea millones de dígitos decimales para $\pi$ por supuesto, tienen que recurrir a la más profunda de los hechos alrededor de $\pi$, lo que conduce a una convergencia más rápida.