¿Explicación de que el Espacio Twistor del $S^4$ es $\mathbb{C}P^3$?

Question

Estoy tratando de leer el papel de Atiyah sobre la auto dualidad en la geometría riemanniana de cuatro dimensiones, y me encontré con el siguiente ejemplo básico:

Sea $S_-$ el fibrado $SU(2)$ de espinors anti-auto duales sobre $S^4$. Entonces el espacio total del fibrado proyectivizado $PS_{-}$ sobre $S^4$ es $\mathbb{C}P^3$.

Me preguntaba si alguien podría dar una prueba/explicación breve de este hecho (después de buscar en internet encuentro muchas referencias a este hecho, pero ninguna explicación completa)? Entiendo que la fibración de Hopf cuaterniónica muestra $\mathbb{C}P^3$ como un fibrado de $S^2$ sobre $S^4$, pero solo veo vagamente que este fibrado es de hecho el fibrado de espinors ASD proyectivizado. (Básicamente he intentado escribir funciones de transición para ambos para la división habitual de $S^4 = \mathbb{H}P^1$ en dos hemisferios. Estaba esperando que alguien pudiera dar una razón mejor y/o los detalles de este procedimiento.)

¡Gracias de antemano, y perdón si esta pregunta es básica! Todo el mundo parece simplemente afirmar que el espacio total es obviamente $\mathbb{C}P^3$, ¡pero para mí no es obvio! :(.

(De manera similar, ¡si alguien pudiera describir y explicar el espacio twistor de $\mathbb{C}P^2$, también sería genial!)

Answer 1

Estoy seguro de que hay muchas formas de ver esto, pero aquí hay una rápida. El haz de marcos orientado de $\mathbb S^4$ es $SO(4)\to SO(5)\to \mathbb S^4$. La cobertura de espín de esto es $Spin(4)\to Spin(5)\to S^4$, que es lo mismo que $Sp(1)\times Sp(1)\to Sp(2)\to \mathbb S^4$. Hasta la conjugación, solo hay un $Sp(1)\times Sp(1)$ en $Sp(2)$, por lo que podemos considerar esto solo como la incrustación diagonal canónica. Las representaciones semiespinoriales $\Delta_\pm$ de $Spin(4)=Sp()1)\times Sp(1)$ son simplemente las multiplicaciones cuaterniónicas en $\mathbb H=\mathbb R^4$ por el primer y el segundo factor respectivamente. Por lo tanto, el haz de $SU(2)$ sin proyectivizar en el que estás interesado es simplemente $Sp(1)\to Sp(2)/(Sp(1)\times 1)=S^7\to S^4$, que por supuesto es solo el haz de Hopf. Tomar el cociente de $S^7$ por $S^1\subset Sp(1)$ te da $\mathbb{CP}^3$.

Answer 2

Como referencia para eso, puedo recomendar el capítulo 3 de 'Geometry of Yang-Mills Fields' de Atiyah.