¿Puede la aritmética de Peano demostrar la consistencia de la "aritmética infantil"?

Question

Estoy leyendo Una Introducción a los Teoremas de Gödel de Peter Smith. En el capítulo 10, define la "aritmética de bebés" $\mathsf{BA}$ como la versión de orden cero de la aritmética de Peano ($\mathsf{PA}$) sin inducción. Es decir, $\mathsf{BA}$ es la teoría de orden cero (lo que significa que no hay cuantificadores ni variables) con el símbolo constante primitivo $\mathsf0$, la función unaria $\mathsf S$, las funciones binarias $+$ y $\times$, y los siguientes esquemas de axiomas:

1. $\mathsf{Sn\neq0}$
2. $\mathsf{(Sn=Sm)\to(n=m)}$
3. $\mathsf{m+0=m}$
4. $\mathsf{m+Sn=S(m+n)}$
5. $\mathsf{m\times0=0}$
6. $\mathsf{m\times Sn=(m\times n)+m}$

Los símbolos $\mathsf{n}$ y $\mathsf{m}$ que aparecen en los esquemas son marcadores de posición para cualquier término de la teoría, donde los términos se definen mediante la definición recursiva estándar para la lógica de predicados.

¡Mi pregunta es, ¿$\mathsf{PA}\vdash\mathsf{Con(BA)}$!? Tenga en cuenta que esta es una pregunta muy concreta sobre si la fórmula aritmética $\mathsf{Con(BA)}$ es derivable formalmente en $\mathsf{PA}$, no debe confundirse con preguntas más filosóficas sobre si $\mathsf{PA}$ en sí es consistente, discutido en otro lugar.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que $\mathsf{PA}$ no puede probar $\mathsf{Con(PA)}$. Mientras tanto, ni siquiera podemos preguntarnos si $\mathsf{BA}$ puede probar $\mathsf{Con(BA)}$ porque $\mathsf{Con(BA)}$ involucra cuantificadores y, por lo tanto, ni siquiera está en el lenguaje de $\mathsf{BA}$. Pero parece plausible que $\mathsf{PA}$ podría probar $\mathsf{Con(BA)}$, lo que sería un resultado agradable y tranquilizador en el mejor de los casos.

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Como nota al pie, diré que parte de mi motivación para esta pregunta es, de hecho, preguntarme si $\mathsf{PA}$ es consistente. Un argumento común va más o menos así: "Si crees que $\mathsf{PA}$ formaliza un razonamiento válido sobre la aritmética, entonces crees en lo que demuestra. Por lo tanto, no puede probar $\mathsf{0=1}$, porque $\mathsf{0}$ realmente no es igual a $\mathsf{1}$. Por lo tanto, crees que $\mathsf{PA}$ es consistente." Pero creo que este argumento sería más seguro si no se basara en hechos definitivos sobre la "aritmética verdadera", y en particular en la suposición de que "$\mathsf{0}$ no es realmente igual a $\mathsf{1}$", sino que se refería solo a $\mathsf{BA}$. Por lo tanto, a la luz de esto, es importante saber si $\mathsf{BA}$ demuestra $\mathsf{0=1}$, es decir, si $\mathsf{BA}$ es consistente.

No estoy poniendo esto aquí para comenzar una gran discusión/argumento filosófico, solo para proporcionar motivación.

Answer 1

$\mathsf{PA}$ tiene una propiedad muy interesante, a saber, que demuestra la consistencia de cada una de sus subteorías finitamente axiomatizables. Esto suele llamarse el principio de reflexión para $\mathsf{PA}$ (y por cierto, el mismo resultado se cumple para $\mathsf{ZFC}$). La teoría $\mathsf{BA}$ es la parte libre de cuantificadores de una teoría finitamente axiomatizable (simplemente agregue "$\forall x$" en todas partes) $\mathsf{BA}'$; en consecuencia, de hecho tenemos $\mathsf{PA}\vdash \mathsf{Con(BA)}$.

• Tenemos que tener cuidado aquí: $\mathsf{PA}$ no prueba "Cada subteoría finita de $\mathsf{PA}$ es consistente." Más bien, para cada subteoría finita $T$ de $\mathsf{PA}$, $\mathsf{PA}$ prueba "$T$ es consistente." Por lo tanto, no obtenemos una demostración de $\mathsf{PA}$ de $\mathsf{Con(PA)}$ en sí mismo a partir del principio de reflexión. ($\mathsf{PA}$ también prueba "$\mathsf{PA}$ prueba la consistencia de cada subteoría finita de $\mathsf{PA}$," pero nuevamente esto no llega a ser un problema.)

Admitidamente, esto es un exceso enorme, pero el principio de reflexión es un truco muy ingenioso que vale la pena conocer. Con más cuidado podemos probar la consistencia de $\mathsf{BA}$ en el fragmento muy débil $\mathsf{I\Sigma_1}$, o incluso mucho menos (aunque cuando bajamos por debajo de $\mathsf{I\Sigma_1}$ a menudo las cosas se vuelven complicadas así que generalmente no lo hago).