Encuentra todos los números primos de la forma $3^n -1$

Question

En cuanto a la pregunta, el número primo debe ser un número natural, por lo que n>0. Utilicé Mathematica para probar números primos para n que varían de $1$ a $10^5. Ninguno de ellos era primo aparte de$n=1$, que te da$2$. Creo que la contradicción se utilizaría para demostrar que no hay otros primos de esta forma. Simplemente no estoy seguro de qué hacer a partir de ahí.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Un pequeño error cuando dices "para $n=0$ te da $2$", quieres decir "para $n=1$".

De lo contrario, nota que

$$3^n-1=0\pmod 2$$

(siempre es par ya que $3^n$ siempre es impar).

Entonces $3^n-1$ no puede ser primo una vez que sea mayor que $2$. Por lo tanto, el único caso aceptable es si $3^n-1=2$, que es el caso para $n=1$.

Answer 2

Un buen enfoque para problemas de este tipo es suponer (1) que no hay primos de este tipo aparte del ejemplo fácil, y (2) que hay una razón simple, como un solo número que debe dividir a todos ellos. Para determinar cuál es esta "razón simple", mira los primeros ejemplos: $2, 8, 26, 80, \ldots$. El factor común en todos ellos es $2$. Por lo tanto, es razonable suponer que cada ejemplo será par; solo necesitamos saber por qué. Pero entonces la respuesta es evidente: $3^n$ es un producto de números impares, por lo que siempre será impar. Un número impar menos uno siempre es par. Y si $n > 1$, entonces $3^n$ será mayor que $3$, por lo que $3^n - 1$ siempre será un número par mayor que dos, y por lo tanto no será primo.