¿Cómo calculó Halley la distancia al Sol midiendo el tránsito de Venus?

Question

¿Qué números tenían Halley, Cook y otros? ¿Cuál fue la estrategia con la que calcularon la UA?

Answer 1

El método de Halley requiere que se mida el momento del comienzo del tránsito y del final del mismo; ambos datos deben medirse en dos lugares del globo terrestre cuya ubicación debe conocerse.

La imagen de Vermeer, Duckysmokton, Ilia muestra que los dos lugares de la Tierra tienen ubicaciones diferentes en dos direcciones distintas (las diferencias en la distancia al Sol y a Venus son demasiado pequeñas para ser medibles): una de ellas es paralela a la dirección del tránsito de Venus y se reflejará en el desplazamiento global del tiempo; la otra componente es transversal a ella y en realidad desplazará la línea a lo largo de la cual Venus se mueve y cruza el Sol en la dirección arriba/abajo, es decir, hará que la duración del tránsito sea mayor.

Cada uno de estos datos -desplazamiento global de la cronología derivado de la diferencia de una coordenada entre las dos ubicaciones terrestres- y la diferencia entre la longitud del tránsito -debida a la otra coordenada- son, en principio, suficientes para determinar el paralaje solar. Como la sincronización de relojes en lugares muy diferentes era difícil hace siglos, supongo que esta última -la diferencia entre $\Delta t_1$ y $\Delta t_2$ - era probablemente más útil históricamente. Pero estamos hablando de diferencias de O(10) minutos en ambas cantidades.

El cálculo de la paralaje a partir de $\Delta t_1$ y $\Delta t_2$ y su diferencia es un simple ejercicio de geometría pero quiero evitar aquí las funciones trigonométricas.

En cualquier caso, Halley no vivió para ver una medición adecuada (el tránsito se produce unas dos veces por siglo y los dos eventos se agrupan con una pausa de 8 años entre ellos). Lo mejor que pudo obtener fue 45 segundos angulares para el paralaje; la respuesta correcta es de unos 8,8 segundos. Sabía que su resultado era muy inexacto. Hay que tener en cuenta que el paralaje solar es el ángulo con el que se ve el radio de la Tierra desde el Sol, es decir, la diferencia de rayos necesaria para observar el Sol desde el centro de la Tierra y/o un punto de la superficie del disco terrestre.

Al convertir 8,8 segundos angulares en radianes, es decir, multiplicar por $1/3,600\times \pi/180$ , se obtiene $4.3\times 10^{-5}$ . Ahora, divide 6378 km por este pequeño número para obtener unos 150 millones de km para la UA.

Algunas estimaciones de órdenes de magnitud para las cifras. Venus orbita a 0,7 UA, por lo que en realidad está más cerca de la Tierra que del Sol durante el tránsito. Esto significa que un desplazamiento de 6.000 km hacia arriba/abajo en el lado de la Tierra corresponde a unos 12.000 km hacia arriba/abajo en el lado del Sol. Así que las dos líneas horizontales que cruzan el Sol en la imagen (lugares de la superficie solar donde Venus se "proyecta") pueden estar separadas por unos 12.000 km. Compáralo con el radio solar cercano a los 700.000 km: puedes ver que estamos desplazando las líneas horizontales en aproximadamente un 1% del radio del Sol y la diferencia relativa entre $\Delta t_1$ y $\Delta t_2$ también será comparable al 1%. El último tránsito en 2004 duró unas 6 horas, por lo que la diferencia de duración en varios lugares es del orden de 10 minutos.

El tránsito de Venus en 2012 el martes por la noche UTC también tardará más de 6 horas; el horario y la duración difieren también en unos 7 minutos según el lugar.

Si ha soñado con observar el tránsito de Venus, no se olvide del martes a las 22:49 de la noche UTC; los siguientes tránsitos se producirán en 2117 y 2125. Hay un versión del blog de esta respuesta, también.

Answer 2

Este post detalla los pasos de una determinación básica de la paralaje solar a partir de un tránsito de Venus. Las referencias son:

1) Blatter, "Venustransit 2004" (pdf) que tiene una buena derivación

2) El tránsito de Venus en 2004 que trabaja a través de un sencillo ejemplo hipotético construido a partir de los datos de tránsito de 2004.

Los ángulos se miden en radianes, grados, minutos de arco y segundos de arco, según convenga:

• 1 grado = $\pi$ /180=0,0175 radianes = 60 minutos de arco = 3.600 segundos de arco.

Los pasos (A-H):

A) Se realizan observaciones del tránsito desde posiciones muy separadas en la Tierra. La referencia 2 crea un caso sencillo utilizando El Cairo (lat 30N, long. 32E) y Durban (lat 30S, long, 31E), que forman una línea de base norte-sur de $0.917 R_E$ , donde $R_E$ es el radio de la Tierra de 6.371 km.

(Aviso legal: ¡Atención! ¡No intente hacer esto en casa sin protección! Mirar directamente al sol dañará sus ojos de forma permanente).

B) Determinar la separación angular de las dos pistas de tránsito (casi superpuestas) (cuerdas en el disco solar) a partir de los datos de tránsito. Existen varios métodos, todos ellos dependen de forma crucial de las duraciones de los tránsitos. La referencia 1 utiliza construcciones de triángulos rectos mientras que la referencia 2 utiliza el medio ángulo incluido $\theta$ del acorde:

A partir de esta geometría, la referencia 2 calcula la separación de las vías $\Delta \beta$ (lo llaman $D$ pero estoy siguiendo la notación de la referencia 1).

$$\Delta \beta = (R-r) \frac{sin^2 \theta}{cos \theta} \frac{\Delta T}{T}$$

donde:

• $\Delta \beta$ es la separación angular de la vía, en las mismas unidades que $R-r$

• $R$ es la mitad del diámetro angular del sol (31,5/2=15,75 minutos de arco),

• $r$ es la mitad del diámetro angular de Venus (1/2=0,5 minutos de arco),

• $\theta = 46.62$ grados para el tránsito de 2004,

• la duración media del tránsito $T=19790.5$ s (5,5 horas), y

• $\Delta T$ es la diferencia de tiempos de tránsito entre los dos lugares, 529 s, algo menos de 9 minutos.

Con estos parámetros, la separación de las vías es $\Delta \beta = 0.314$ minutos de arco (aproximadamente 1/3 del diámetro aparente de Venus), o 18,81 segundos de arco.

C) Esta separación de vías $\Delta \beta$ no es la paralaje solar $\alpha_s$ En cambio, es la diferencia de la paralaje de Venus $\alpha_v$ y $\alpha_s$ . La geometría se representa en la maravillosa figura 3.2 de la referencia 1:

De esta geometría:

• Para el triángulo ABV: $\alpha_v+(\epsilon_B+\beta_B)+(\epsilon_A-\beta_A)=180$ grados (o $\pi$ radianes)

• Para el triángulo ABO: $\alpha_s+\epsilon_B+\epsilon_A=180$

• Sustituyendo, se encuentra $\alpha_v-\alpha_s=\beta_A-\beta_B=\Delta \beta$

D) Los paralajes solar y venusino están relacionados por sus distancias relativas a la Tierra:

$$\alpha_s=\frac{b}{d_{es}}, \alpha_v=\frac{b}{d_{ev}} \text{ , so } \alpha_v=\alpha_s \frac{d_{es}}{d_{ev}}=\alpha_s \frac{d_{es}}{d_{es}-d_{vs}}$$

donde

• los dos paralajes $\alpha_s$ y $\alpha_v$ están ahora en radianes

• $b$ es la línea de base establecida por las mediciones de tránsito en A y B (El Cairo y Durán en el ejemplo de la referencia 2, con la resultante $b=0.917 R_E = 5,843$ km).

• $d_{es}$ , $d_{ev}$ y $d_{vs}$ son las distancias (desconocidas) de la Tierra al Sol, de la Tierra a Venus y de Venus al Sol, respectivamente.

Sustituyendo, se obtiene $\alpha_s=(d_{es}/d_{vs}-1) \Delta \beta$ (donde ahora $\alpha_s$ es en cualquier unidad $\Delta \beta$ es)

E) La tercera ley de Kepler (los cuadrados de los períodos orbitales son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores), permite determinar $d_{vs}$ en términos de $d_{es}$ . Dado que el período orbital de Venus es de 0,616 años, $d_{vs}/d_{es}=0.616^{2/3}=0.724$ AU (unidades astronómicas, 1AU = el semieje mayor de la tierra, o nominal $d_{es}$ ).

F) Finalmente, sustituyendo en la ecuación de $\alpha_s$ en el paso D) da $\alpha_s=$ (1.015/0.724-1)(18.81)=7.56 arc-seconds. (Según la referencia 2, la distancia de la Tierra al Sol en el momento del tránsito de 2004 era de 1,015 UA).

G) La paralaje solar estándar $p_s$ se refiere a una línea de base de 1 radio terrestre, frente a la línea de base de 0,917 radios terrestres utilizada en la medición hipotética de la referencia 2. Al escalar, se encuentra $p_s=\alpha_s$ /0,917=8,37 segundos de arco.

El valor aceptado del paralaje solar es de 8,79 segundos de arco, por lo que el error del ejemplo es de aproximadamente un 5%.

H) Convirtiendo el paralaje solar calculado a radianes, 8,37 segundos de arco -> 40,58 microrradianes, se calcula $d_{es} =$ 1 UA = 6,371/40,58E-6 = 157,0 millones de kilómetros, también un error del 5% respecto al valor aceptado de 149,5 millones de kilómetros.