¿Una función mensurable que no admite una aproximación puntual por funciones escalonadas?

Question

Un resultado básico en análisis real es que cualquier función medible es un límite en casi todas partes de una secuencia de funciones escalonadas (aunque es un límite puntual de una secuencia de funciones simples), pero la afirmación no se cumple cuando se reemplaza "en casi todas partes" por en todas partes. Mi pregunta es cómo encontrar un contraejemplo para la afirmación de "en todas partes".

Mi intento:
He intentado usar el hecho de que una función escalonada es diferente de una simple en que es continua en el complemento de un conjunto de medida cero, luego quizás aplicar el teorema de Egorov. Considerando esto, estamos motivados a elegir una función característica en todas partes discontinua de algún conjunto medible "malo". Pero entonces me quedé atascado, ya que una vez que se involucra en casi todas partes, parece difícil prescindir de ella (para llegar a un argumento contrario).

¡Por favor, ayuda, gracias!

Answer 1

Creo que tengo una respuesta. Ten en cuenta que las funciones escalonadas son todas Borel-medibles, y un límite de Borel-medibles también es Borel-medible. Así que tomamos la función característica de un conjunto Lebesgue-medible pero no Borel-medible y tenemos un ejemplo.

Answer 2

Es posible demostrar que existe una función Borel medible que no es el límite en todas partes de ninguna función escalonada.

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Si $(f_n)$ es una secuencia de funciones valuadas en números reales en un conjunto $X$, entonces su punto de convergencia está dado por

$$E=\bigcap_{\varepsilon\in\mathbb{Q}_{>0}}\bigcup_{N\geq1}\bigcap_{m,n\geq N}\{x\in X:|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon\}.$$

(De nota que $E$ es precisamente el conjunto de todos los $x$ en los cuales la secuencia $(f_n(x))_{n\geq1}$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}$.)

Ahora, si $(f_n)$ es cualquier secuencia de funciones escalonadas, entonces $\{x\in X:|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon\}$ es una unión finita de intervalos. Por lo tanto, es un conjunto $G_{\delta}$ y por lo tanto pertenece a la clase $\mathbf{\Pi}_{2}^{0}$ en la jerarquía Borel en $\mathbb{R}$.

A partir de esto, sabemos que $E$ es un conjunto $G_{\delta\sigma\delta}$, por lo que pertenece a la clase $\mathbf{\Pi}_{4}^{0}$. Dado que sabemos que existe un conjunto Borel $B$ que no está en la clase $\mathbf{\Pi}_{4}^{0}$, la función indicadora $\mathbf{1}_{B}$ es Borel medible pero no puede ser el límite en todas partes de ninguna secuencia de funciones escalonadas.

Aunque tengo poca experiencia en la teoría descriptiva de conjuntos, parece que no se conocen ejemplos "naturales" de conjuntos Borel fuera de $\mathbf{\Pi}_4^{0}$ en la literatura. (Ver el comentario en la Sección 23 de Kechris.) Por lo tanto, dicho conjunto debe ser artificialmente construido. Uno de esos argumentos se puede encontrar en este artículo.