Demostrando esta identidad de permutación

Question

¿Cómo puedo probar que esta identidad sea correcta?

$$\sum_\sigma\sum_{k=1}^N\left[c_k(x_{\sigma(k)} - \mu_k)\right] \equiv \sum_\sigma\sum_{k=1}^N\left[c_{\sigma(k)}(x_k - \mu_{\sigma(k)})\right],$$

donde $\sigma$ varía sobre los elementos del grupo de permutación en N objetos y $c_k$ es alguna constante y $_j$ caracteriza la posición de la $j^\text{th}$-partícula tal que

$$_j=\left(j \frac{N+1}{2}\right)d.$$

Entiendo que lo anterior se sigue de la identidad que

$$\sum_{k=1}^Nc_{\sigma(k)}\mu_{\sigma(k)} \equiv \sum_{k=1}^Nc_k\mu_k,$$

pero me preguntaba si hay alguna forma de probar la identidad utilizando solo propiedades del grupo de permutación.

Answer 1

No estoy seguro de si esto es lo que quieres decir con las propiedades de un grupo de permutaciones solo, pero:

Para cualquier grupo $G$, la función $\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ es una biyección de $G$ en sí mismo. En particular, para cualquier cantidad $n_\sigma$, $\sum_{\sigma\in G}n_\sigma=\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma^{-1}}$. En tu caso, $n_{\sigma}=\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma(k)}-\mu_k)$ nos da $\sum\limits_\sigma\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma(k)}-\mu_k)=\sum\limits_\sigma\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma^{-1}(k)}-\mu_k)$.

También hay que tener en cuenta que cada permutación $\sigma$ es, por definición, una biyección de $\{1,\ldots,k\}$ en sí misma. En particular, para cualquier cantidad $n_k$, $\sum_{k=1}^nn_k=\sum_{k=1}^nn_{\sigma(k)}$. En tu caso, $n_k=c_k(x_{\sigma^{-1}(k)}-\mu_k)$ nos da $\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma^{-1}(k)}-\mu_k)=\sum_{k=1}^nc_{\sigma(k)}(x_k-\mu_{\sigma(k)})

Al poner todo esto junto, obtenemos $$\sum\limits_\sigma\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma(k)}-\mu_k)=\sum\limits_\sigma\sum_{k=1}^nc_k(x_{\sigma^{-1}(k)}-\mu_k)=\sum\limits_\sigma\sum_{k=1}^nc_{\sigma(k)}(x_k-\mu_{\sigma(k)})$$