¿Existe alguna otra forma de obtener el límite superior del cociente de la sumatoria ponderada?

Question

Corrija algunas constantes $c_1, c_2,\dots, c_n$ de modo que $\sum_{i=1}^n c_i^2=1$ y $|c_i|\le 1$ para $i=1,\dots, n$, y $-2\le b_1\le \dots \le b_n\le 2$.

Quiero acotar superiormente la siguiente ecuación $$ L=\frac{c_1^2e^{-4b_1t}}{\sum_{i=1}^n c_i^2 e^{-4b_it}}. $$

Está claro que $L\le 1$.

(1) Una cota superior trivial es que dado que $\sum_{i=1}^n c_i^2 e^{-4b_it}\ge c_2^2 e^{-4b_2t}$, entonces tenemos que $$ L\le \frac{c_1^2e^{-4b_1t}}{c_2^2e^{-4b_2t}}\le \frac{e^{-4b_1t}}{c_2^2e^{-4b_2t}} $$

Pero no quiero tener una constante de proporcionalidad como $c_1^2/c_2^2$ o $1/c_2^2$ por alguna razón.

Pregunta: ¿Hay alguna otra forma de obtener su cota superior? Los coeficientes dependen solo de $c_1$ o $c_i$, no del ratio de constantes $c_i$.

Answer 1

Resolvemos un problema más general encontrando el límite superior de $$L=\frac{c_\color{blue}{k}^2e^{-4b_\color{blue}{k}t}}{\sum_{i=1}^n c_i^2 e^{-4b_it}} \qquad \quad \text{para }0\le k\le n$$ Tenemos $$\begin{align} L &= \frac{c_k^2e^{-4b_kt}}{\sum_{i=1}^n c_i^2 e^{-4b_it}}=\frac{c_k^2}{\sum_{i=1}^n c_i^2 e^{-4(b_i-b_k)t}}=\frac{c_k^2}{\sum_{ik} c_i^2 e^{-4(b_i-b_k)t}}\\ \end{align}$$ Dado que $-2\le b_1 \le ...\le b_n \le 2$, tenemos: $-4 \le b_i- b_k \le 0$ para $i y $0 \le b_i- b_k \le 4$ para $i>k$, deducimos que $$e^{-4(b_i-b_k)t}\ge 1 \qquad \text{ para }i $$e^{-4(b_i-b_k)t}\ge e^{-16t} \qquad \text{para }i >k$$ Entonces $$L \le \frac{c_k^2}{\left(\sum_{ik} c_i^2\right) e^{-16t}} =\frac{c_k^2}{\left(\sum_{i \le k} c_i^2\right)+\left(1-\left(\sum_{i \le k} c_i^2\right)\right) e^{-16t}}$$ La igualdad ocurre cuando $b_1 = ...=b_k=-2$ y $b_{k+1}=...=b_n=2$.

Observación: Mediante el mismo método, el límite inferior es $$L \ge \frac{c_k^2}{\left(\sum_{i < k} c_i^2\right)e^{16t} +1-\sum_{i < k} c_i^2 }$$ cuando $b_1 = ...=b_{k-1}=-2$ y $b_{k}=...=b_n=2$

Para tu problema inicial, $$\color{red}{L \le \frac{c_1^2}{c_1^2+\left(1-c_1^2\right) e^{-16t}}}$$