Determinar todas las funciones enteras $f(z)$ tales que $0$ es una singularidad removible de $f(\frac{1}{z})?

Question

Entonces no estoy seguro de la respuesta, pero lo que hice fue escribir $f(z)$ en forma de serie, es decir

$$f(z) = a_0 + ... + a_n z^n$$

luego considero $f(\frac{1}{z})$ - (y usando el hecho de que en una singularidad removible la parte principal es cero)

¡Me doy cuenta de que todos los $a_i$ excepto $a_0$ deben ser $0$! Entonces mi respuesta resulta ser $f(z) = c$, donde $c$ es alguna constante!?

Answer 1

Tu respuesta es correcta.

También podrías argumentar que si $0$ es una singularidad removible de $f(1/z)$, entonces $f(1/z)$ está acotada cerca de $z=0$, lo que a su vez implica que $f$ es una función entera acotada (que es constante según el teorema de Liouville).