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¿Ocurre cada representación irreducible de un grupo compacto en productos del tensor de una representación fiel (y su dual)?

Deje $G$ ser un equipo compacto (Hausdorff) grupo e $V$ fiel (complejo, continuo, finito-dimensional) representación de la misma. (Por lo tanto, $G$ es una Mentira grupo). Es cierto que cada irreductible representación de $G$ se produce como un sumando de a $V^{\otimes n} \otimes (V^{\ast})^{\otimes m}$ algunos $m, n$? (A la pregunta original, sólo pidió sumandos de $V^{\otimes n}$ y, como anon menciona a continuación, $\text{U}(1)$ es fácil contraejemplo.)

Sé que el correspondiente resultado es cierto para los grupos finitos, pero la prueba sé que no parece fácil generalizar. Parece que deberíamos ser capaces de aplicar Stone-Weierstrass: los caracteres que usted consigue de sumandos de $V^{\otimes n} (V^{\ast})^{\otimes m}$ forma un álgebra de funciones de clase cerrado bajo la suma, la multiplicación, y el conjugado complejo, así que si sabemos que los puntos separados, deben ser denso en el espacio de funciones de clase. Pero

1) no estoy seguro de si podemos demostrar que estas funciones por separado puntos, y

2) no estoy seguro de si el espacio de las clases conjugacy (con la topología cociente de $G$) es aún Hausdorff.

Motivación: yo estaba buscando barato de los medios para establecer la teoría de la representación de $\text{SU}(2)$. En este caso especial, el carácter de la definición de la representación $V$, que es la auto-dual, ya que separa a las clases conjugacy, y yo creo que el argumento anterior obras. Luego Clebsch-Gordan me permite rápidamente clasificar las representaciones irreducibles de $\text{SU}(2)$ sin el uso de álgebras de Lie.

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ideasasylum Puntos 138

Sí, todos los irreductible rep. de grupos compactos que se encuentran en el tensor de productos de un fiel representante. y su doble. La idea es utilizar el llamado de sus funciones representativas. Una manera de definir esta álgebra, es que es la suma de los elementos de la matriz de finito dim. representaciones. Una muestra de que esta es denso en el álgebra de funciones continuas, y que es el álgebra generada por los elementos de la matriz de una fiel representación de la matriz y su conjugado elementos. Ahora usted puede utilizar esta densidad de mostrar que todos irreductible rep. debe sentarse en el tensor de productos. También es cierto que la clase conjugacy espacio Hausdorff; en realidad, es un hecho importante hacia la comprensión del compacto grupo de representaciones. Este espacio es homeomórficos para el cociente de el grupo compacto por un máximo de toro. Usted debe echar un vistazo a "Brocker, tom Dieck, las Representaciones de los compactos Mentira grupos" en la página 137 (aplicaciones del teorema de Peter Weyl), y p.166 (consecuencias de la conjugacy teorema).

Saludos, Amin

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Matt Dawdy Puntos 5479

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