En un conjunto de números no negativos, ¿es posible que la media sea menor que la mitad de la mediana?
No. De hecho, la media ni siquiera puede ser igual a la mitad de la mediana (excepto si cada valor en el conjunto es $0$).
La media más baja posible es más de la mitad de la mediana
Esto es correcto (de nuevo, asumiendo que no todos los valores son $0$).
Aquí hay dos demostraciones simples (aunque rigurosas). (Estas demostraciones ignoran el caso en el que cada valor en el conjunto es $0$).
Prueba 1
Sea $n$ el número de valores.
Si $n$ es par, entonces los $n / 2$ valores superiores deben ser al menos la mediana. Si todos son iguales a la mediana, entonces el valor justo por debajo del punto medio también debe ser igual a la mediana.
Si $n$ es impar, entonces los valores por encima de la mediana, así como la mediana misma, deben ser al menos la mediana; el número de tales valores es: \begin{equation*} \frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2} > \frac{n}{2}. \end{equation*}
De cualquier manera, hay al menos $n / 2$ valores que son al menos la mediana; la suma de estos valores, y por lo tanto la suma de todos los valores, es al menos: \begin{equation*} \frac{n}{2} \times \text{mediana}. \end{equation*}
De hecho, o hay más de $n / 2$ valores, o al menos algunos valores son mayores que la mediana (o ambos), por lo que la suma es mayor que el valor de esta expresión.
Dividiendo esto por $n$, descubrimos que la media es mayor que: \begin{equation*} \frac{1}{2} \times \text{mediana}. \end{equation*}
Prueba 2
Elegiremos un $m$ arbitrario, luego construiremos un conjunto con mediana $m$ y la media mínima posible.
Empezamos haciendo una de las siguientes cosas:
- (el conjunto tiene un número impar de valores) Agregar $m$ al conjunto.
- (el conjunto tiene un número par de valores) Agregar dos valores, con media $m$, al conjunto. Cualquier dos valores con media $m$ hacen la misma contribución a la media del conjunto, pero para una máxima flexibilidad al agregar otros valores más tarde, debemos fijar ambos valores en $m$.
Luego elegimos un $n$ arbitrario y:
- Agregar $n$ valores que son como máximo $m$ al conjunto. Para minimizar la media, deberíamos fijar todos estos valores en $0$.
- Agregar $n$ valores que son al menos $m$ al conjunto. Para minimizar la media, deberíamos fijar todos estos valores en $m$.
Es importante destacar que estos pasos pueden construir un conjunto de cualquier tamaño, con cualquier mediana, y el conjunto construido tiene la media mínima posible dentro de estas restricciones.
Si el conjunto tiene un número impar de valores, la media del conjunto es:
\begin{equation*} \frac{m + nm}{1 + 2n} = \frac{1 + n}{1 + 2n} m > \frac{1}{2} m. \end{equation*}
Si el conjunto tiene un número par de valores, la media del conjunto es:
\begin{equation*} \frac{2m + nm}{2 + 2n} = \frac{2 + n}{2 + 2n} m > \frac{1}{2} m. \end{equation*}
Esta prueba está diseñada para enfatizar el papel del $0$, basándose en el comentario de Carl Witthoft en otra respuesta (énfasis añadido):
Interesante, ya que ingenuamente pensaría que desplazar un conjunto de datos uniformemente por un valor $X$ no afectaría la mediana frente a la media. Lo que está oculto aquí (si lo entiendo bien) es que un conjunto de datos no negativos es asimétrico, estando limitado en un extremo solo.
