Encuentra una función biyectiva entre dos conjuntos.

Question

Quiero encontrar una función biyectiva desde $(\frac{1}{2},1]$ en $[0,1]$. Entonces, ¿cuál es una función biyectiva $f:(\frac{1}{2},1]\to[0,1]$?

Answer 1

Te mostraré una biyección $f:(0,1]\to[0,1]$. Espero que puedas transformar esto en lo que desees (usando cualquier otra biyección $(1/2,1]\to (0,1]$).

En realidad, es bastante sencillo. Deja que $f(1)=0$, y $f(1/n)=1/(n-1)$ cuando $n\geq 1$ es un entero. Esto significa que: $$f(1) = 0$$ $$f(1/2) = 1$$ $$f(1/3) = 1/2$$ $$f(1/4) = 1/3$$ $$\vdots$$ Ahora tenemos una biyección de $\left\{1/n : n\in\mathbb N\right\}$ a $\left\{1/n : n\in\mathbb N\right\}\cup\left\{0\right\}$. Ahora, solo necesitamos definir $f(x)=x$ cuando $x\in(0,1]$ no es de la forma $1/n$ para ningún $n$.