¿Demostré y refuté correctamente las siguientes afirmaciones?

Question

Deje que $A = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid \exists a\in\mathbb{Z}: x = 6a + 4\right\}$

y $B = \left\{y \in \mathbb{Z} \mid \exists b\in\mathbb{Z}: y = 18b - 2\right\}$

y $C = \left\{z \in\mathbb{Z} \mid \exists c\in\mathbb{Z}:z = 18c + 16\right\}$

Demuestra o refuta cada una de las siguientes afirmaciones:

a. $A\subseteq B$

b. $B\subseteq A$

c. $A = B$

¿He demostrado esto correctamente?

a. A ⊆ B. Supongamos que x es un elemento particular, pero arbitrario de A.
Por definición de A, hay un entero a, tal que 6a+4.
Supongamos que a = 1 entonces 6(1)+4=10=x. Supongamos que y es un elemento particular, pero arbitrario de B. Por definición de B, hay un entero b, tal que 18b-2. Si x, o 10 en este caso, es un elemento de A, entonces debe ser un elemento de B para A⊆B. Sin embargo, si 18b-2=10 entonces 18b=12 b=12/18 b=⅔ Por lo tanto, b no es un entero por lo tanto 10 es un elemento de A, pero no de B, por lo tanto A ⊈ B. [Esto es lo que se necesitaba mostrar.]

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b. B ⊆ A. Supongamos que x es un elemento arbitrario de A. Por definición de A, hay un entero a, tal que 6a+4. Supongamos que y es un elemento particular, pero arbitrario de B. Por definición de B, hay un entero b, tal que 18b-2. Supongamos que y =1 entonces y= 18(1)-2 = 16. Si y, o 16 en este caso es un elemento de B entonces debe ser un elemento de A para B ⊆ A. Si 6a+4=16 entonces, 6a=12 a=12/6 a=2. Por lo tanto, 16 es un elemento tanto de B como de A, así que B ⊆ A. [Esto es lo que se necesitaba mostrar.]

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c. B=C Supongamos que y es un elemento de B y z es un elemento de C. Por definición de B, hay un entero b, tal que 18b-2. Por definición de C, hay un entero c, tal que 18c+16. Supongamos que b = 1 Entonces 18(1) -2 = 16. Si y, o en este caso 16 ∈ B, entonces debe ser un elemento de C para B ⊆ C. Si 18c+ 16=16 c=0. 0 es un entero, por lo tanto y es un elemento de ambos B y C, así que B ⊆ C. Para B=C, C también debe ser un subconjunto de B. Sabemos que 0∈ C así 18b-2=0 b=1/9 B no es un entero, por lo tanto C⊈B, así que B≠C.

Answer 1

Para mostrar que $A \nsubseteq B$ es suficiente encontrar un solo elemento $x \in A$ que no sea un elemento de $B$. No es necesario escribir "Si x, o 10 en este caso, es un elemento de A, entonces debe ser un elemento de B para A⊆B". Aunque está bien mostrar que $a \subseteq B$ resulta en una contradicción, es más simple mostrar simplemente que $10 \in A$ pero $10 \notin B

Para demostrar que un conjunto es un subconjunto de otro, por ejemplo, $B \subseteq A$, se muestra que cualquier elemento de $B$ debe ser un elemento de $A. Has demostrado con éxito que 16 es un elemento de ambos conjuntos, pero no que todo $b \in B$ también está en $A

En el paso c estás cometiendo un error al escribir que "sabemos que $0 \in C$." $0$ no está en $C$, es el entero en $\mathbb{Z}$ que usamos como $c$ en la definición de $C$ para ver que $16 \in C$ ya que $16 = 18*0 + 16$ y $0 \in \mathbb{Z}$

Intenta de nuevo con las partes b y c con esta información. Y recuerda que tus conjuntos, $A, B, C$ contienen aquellos elementos $x, y, z$ que satisfacen los predicados en sus definiciones, no los $a$,$b$,$c \in \mathbb{Z}$