Este árbol de probabilidad representa el juego y guía los cálculos:
![Árbol]()
El nodo azul a la izquierda representa el inicio. En este punto hay un 5% de probabilidad de éxito (llevando hacia arriba y a la izquierda). Si se logra el éxito en este punto, solo se realiza un intento, como se indica en el círculo naranja.
En ausencia de éxito, avanzamos hacia abajo y a la derecha hacia el siguiente nodo azul. En esta ocasión, la probabilidad de éxito es del 10% y la probabilidad de fracaso es del 90%. Y así sucesivamente, hasta el 20º nodo azul donde la probabilidad de éxito (después de 20 intentos) es del 100% (por lo que no hay posibilidad de fracaso).
Según las leyes axiomáticas de la probabilidad, la probabilidad de llegar a cualquier nodo naranja terminal es el producto de las probabilidades a lo largo de las aristas que conducen a ese nodo. Por ejemplo, la probabilidad de éxito en exactamente dos intentos es del 95% por 10%, igual a $19/200,$ y la probabilidad de éxito en exactamente tres intentos es igual a $513/4000,$
Realizando todas las multiplicaciones, calculamos las probabilidades de éxito después de exactamente $k$ intentos para $k=1, 2, \ldots, 20$:
$$\frac{1}{20},\frac{19}{200},\frac{513}{4000},\frac{2907}{20000},\frac{2907}{20000},\frac{26163}{200000},\ldots,\frac{14849255421}{640000000000000000}.$$
A partir de estos valores se pueden calcular todas las cantidades de interés. Por ejemplo, la probabilidad de éxito después de cuatro intentos es $\frac{1}{20}+\frac{19}{200}+\frac{513}{4000}+\frac{2907}{20000} = \frac{2093}{5000} = 0.4186$ y la probabilidad de éxito después de cinco intentos es mayor por $\frac{2907}{20000}$ nuevamente, dando $\frac{11279}{20000} = 0.56395.$ Por lo tanto, el número de intentos mediano se encuentra entre cuatro y cinco.
El número de intentos esperado (media) se obtiene (por definición) multiplicando el número de intentos por su probabilidad y sumando sobre todos los números posibles. El valor es $\frac{3387894135040576041}{640000000000000000}$, aproximadamente igual a $5.29358$. Su recíproco, aproximadamente $18.8908$%, responde a la última pregunta: la probabilidad fija de éxito con el mismo número esperado de intentos.
Un árbol de probabilidad similar puede ayudar a responder cualquier pregunta similar donde el valor de $5$% puede diferir e incluso puede cambiar de un intento a otro: simplemente escriba las probabilidades adecuadas y realice cálculos comparables.
