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Una curva algebraica $C$ como cubierta de $\mathbb{P}^1$ sobre $\bar{\mathbb{Q}}$

¿Podría alguien explicar qué significa que una curva algebraica $C$ sea una cubierta de $\mathbb{P}^1$ sobre $\bar{\mathbb{Q}}$, ramificada sobre $n$ puntos?

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Goethe Puntos 18

No sé qué idioma estás usando (clásico o moderno). En el sentido moderno, significa que tienes una curva $C$ sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ (quizás originalmente estaba sobre algún subcampo de $\overline{\mathbb{Q}}$, pero simplemente realizamos un cambio de base hasta $\overline{\mathbb{Q}}$) y un mapa sobreyectivo $\varphi:C\to\mathbb{P}^1.

Lo que significa que un punto $x\in C$ está ramificado en relación con este morfismo es que la gavilla $\Omega^1_{C/\mathbb{P}^1}$ tiene una parada no nula allí. O dicho de otra manera (aunque de manera equivalente, ya que estoy asumiendo que $C/\overline{\mathbb{Q}}$ es suave) que si $y=\varphi(x)$ y $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1,y}\to\mathcal{O}_{C,x}$ es el mapa natural, un uniformizador $\pi$ de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1,y}$ no se mapea en un uniformizador $\mathcal{O}_{C,X}.

Hay una manera fácil de entender las imágenes de los puntos de ramificación. Si $[K(C):k(t)]=n$ (donde $K(C)$ es el cuerpo de funciones de $C$ y $k(t)$ el cuerpo de funciones de $\mathbb{P}^1)$ un punto $y\in\mathbb{P}^1$ es la imagen de un punto de ramificación si la fibra contiene menos de $n$ puntos.

De manera intuitiva, la ramificación significa que $C\to\mathbb{P}^1$ es generalmente $n$-a-$1$, con $n$ "hojas", y los puntos de ramificación son donde estas hojas se juntan. Esto se puede hacer completamente formal si además realizas un cambio de base a $\mathbb{C}$ y miras la analítica de las curvas. Entonces esto se convierte en un mapa finito de superficies de Riemann (superficies reales, ¡si eso te hace más feliz), que es genéricamente un mapa de cobertura, ¡excepto en los puntos de ramificación!

¡Déjame saber si puedo aclarar más!

(PD: Aquí hay un descarado enlace a una publicación en mi blog hablando sobre morfismos no ramificados. ¡Échale un vistazo!)

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