Prueba de la desigualdad $e^x\le e^{x^2} + x$

Question

La cuestión es demostrar la desigualdad $e^x\le e^{x^2} + x$ . Intenté la expansión de Taylor como ${e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ...$ y $x + {e^{{x^2}}} = 1 + x + \frac{{{x^4}}}{{2!}} + \frac{{{x^6}}}{{3!}} + ...$ pero no puedo ver nada útil de esto. ¿Alguien puede aportar algo de ayuda? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $x$ tenemos $$ (e^{x^2} + x) - e^x = \\ \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{4!}\right)x^4 - \frac 1{5!}x^5 + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{6!} \right)x^6 - \cdots \geq \\ \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \frac {1}{4!}x^4 - \frac 1{5!}x^5 + \frac{1}{6!}x^6 - \cdots =\\ e^{-x} + x - 1 $$ Considere la función $f(x) = e^{-x} + x - 1$ . Observamos que $$ f'(x) = 1 - e^{-x} $$ para que $f$ alcanza su mínimo en $x = 0$ donde encontramos $f(0) = 0$ . Así que, $f(x) \geq 0$ .

Así, tenemos $$ (e^{x^2} + x) - e^x \geq f(x) \geq 0 $$ La conclusión es la siguiente.

Answer 2

Otra forma es considerar $f(x)=e^{x^2}+x-e^x$ tenemos $f'(x)=2xe^{x^2}+1-e^x$ y $f''(x)=(4 x^2+2) e^{x^2}-e^x$ Así que $$f''(x)=e^x\left(e^{x^2-x}(4x^2+2)-1\right)\ge e^x\left(e^{-1/4}\times 2-1\right)>0$$ Desde $x^2-x\ge-1/4$ . Así que, $f$ es convexo, y porque $f'(0)=0$ concluimos que $f$ alcanza su mínimo en $x=0$ que es $0$ . Se demuestra la desigualdad deseada.

Answer 3

Si $x \geq 1$ entonces $x^2 \geq x$ entonces tenemos $e^x \leq e^{x^2}$ , lo que a su vez significa que $e^x \leq e^{x^2}+x$ .

Para $0 \leq x \leq 1$ entonces $x^2 \leq x$ entonces tenemos $e^x$ entonces tenemos \begin{align} e^x & = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!} = 1 + x + \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!} \leq 1 + x + \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{x^2}{2^{k-1}} \,\,\,\, (\because x \in [0,1] \text{ and }k! \geq 2^{k-1})\\ & = 1+x+x^2 \leq x + e^{x^2} \end{align}

Si $x \leq 0$ entonces $e^{x^2}+x \geq 1+x+\dfrac{x^2}2 = \dfrac{1+(1+x)^2}2 \geq e^x$ .

Por lo tanto, $e^x \leq e^{x^2}+x$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .