¿Qué sabemos sobre las funciones de "co-choice"?

Question

Esta no es la pregunta.

Tengo una cierta propiedad relacionando pares de funciones $f,g:X\to Y$ a "agradables" cubiertas de $X$ y $Y$. Existe una relación interesante entre esta propiedad, las funciones que mapean cada miembro de una cubierta "agradable" a su imagen, y las funciones de elección que mapean cubiertas a sus respectivos espacios, por lo cual una propiedad vagamente análoga se sostiene para funciones entre cubiertas.

Creo que esta relación podría volverse más clara si intentara reemplazar las funciones de elección con funciones de "coelegir" - es decir, funciones $C:A\to\mathcal F$, donde $A\subseteq\bigcup\mathcal F$, tal que $a\in C(a)$ para todo $a\in A$ (en la aplicación estas serían funciones de un espacio adecuado a una cubierta "agradable").

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Esta es la pregunta.

¿Qué sabemos acerca de las funciones de "coelegir"?

Con las funciones de elección, la imagen es muy clara; tengo herramientas teóricas, topológicas, algebraicas y combinatorias con las que trabajar. Aunque existe una dualidad obvia entre funciones de elección y de "coelegir" (en particular, el inverso de una es la otra, cuando es bijetiva), no he podido relacionar las funciones de "coelegir" con objetos o propiedades conocidas de la misma manera.

No se relacionan directamente con coproductos de la misma forma en que las funciones de elección se relacionan con productos, su relación con el orden no es obvia, las implicaciones de varias formas de "coelegir" no están claras, y la combinatoria es... bueno, acabo de tener la idea ahora, ¿me das un momento, verdad?

No he encontrado nada buscando, pero tampoco tengo un nombre para lo que estoy buscando.

Answer 1

El axioma de co-elección es equivalente al axioma de elección.

Supongamos el axioma de elección.

Sea $\mathcal F$ un conjunto no vacío de conjuntos no vacíos. Para cada $a\in \bigcup\mathcal F$ definimos $G_a=\{F\in\mathcal F\colon a\in F\}$. Sea $\mathcal G=\{G_a\colon a\in\bigcup\mathcal F\}$. Sea $g\colon\mathcal{G}\to\bigcup\mathcal G$ una función elección. Sea $h\colon\bigcup F\to\mathcal G$ la función $h(a)=G_a$. Entonces $g\circ h$ es una función de co-elección para $\bigcup\mathcal F$.

Supongamos el axioma de co-elección.

Sea $\mathcal F$ un conjunto no vacío de conjuntos no vacíos. Sea $\mathcal G=\{(x,a)\in\mathcal F\times\bigcup\mathcal F\colon x\in \mathcal F\land a\in x\}$ donde $(x,a):=\{\{x\},\{x,a\}\}$. Sea $g\colon \bigcup\mathcal G\to \mathcal G$ una función de co-elección. Para cada $x\in\mathcal F$, $\{x\}\in\bigcup\mathcal G$ y $g(\{x\})$ es un par $(x,a)=\{\{x\},\{x,a\}\}$ donde $a\in x$. Entonces, al dejar que $f(x)$ sea el único $a$ tal que $g(\{x\})=(x,a)$ obtenemos una función elección $f\colon\mathcal F\to\bigcup\mathcal F$.