La correspondencia entre la geometría algebraica y la geometría analítica es estimulante. El GAGA hace esto preciso hasta cierto punto. Pero hay más de esta analogía. Mientras revisaba un artículo sobre espacio analítico, la mayoría de los conceptos parecen tener un análogo algebraico. Me había estado preguntando por qué las personas estudian la geometría analítica por separado en la medida en que lo han hecho. Sería interesante conocer algunos teoremas en geometría analítica que no tienen análogo en la geometría algebraica, lo cual justificaría el estudio de esta materia por separado. Aquí me refiero a teoremas que requieren el uso del poder completo de la geometría analítica; no cosas como la descomposición de Hodge para la cual Kähler es suficiente.
Respuestas
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Yo argumentaría que gran parte de la geometría analítica se relaciona con variedades no compactas y se preocupa por nociones y resultados que no tienen absolutamente ningún análogo en la geometría algebraica, como:
dominios de Reinhardt y Runge, pseudoconcavidad, funciones plurisubarmónicas, capacidad analítica, problema de Levi, regularización de corrientes, núcleos de Bochner-Martinelli, estimaciones de $L^2$ y regularidad para $\bar \partial$, etc. etc.
Uno de los primeros resultados en geometría analítica fue la demostración de Poincaré de que el bidisco abierto y la bola abierta en $\mathbb C^2$, ambos simplemente conexos, no eran isomorfos analíticamente, destrozando cualquier esperanza de que el teorema de uniformización de Riemann pudiera generalizarse en dimensiones mayores que uno.
Su demostración se obtuvo mostrando que los grupos de automorfismos de estos dominios no son isomorfos.
Este resultado y su demostración ilustran bellamente por qué la geometría algebraica (que no es de ninguna ayuda en ese problema) no hace que la geometría analítica sea superflua.
Y el trabajo de los medallistas Fields Charles Fefferman y Lars Hörmander (por no mencionar luminarias como Yum-Tong Siu) debería convencer al geómetra algebraico más endurecido de que aún queda mucho, mucho espacio para la geometría analítica...
No estoy seguro de que la principal motivación para estudiar geometría analítica sea que hay teoremas verdaderos allí que no son ciertos en geometría algebraica; si acaso, lo contrario es cierto, ya que cualquier variedad compleja también es un espacio analítico complejo.
Pero hay variedades analíticas que no son algebraicas, por lo que la geometría analítica es un tema más amplio que la geometría algebraica compleja, que tiene su propio atractivo. Pensar analíticamente también proporciona técnicas que no están disponibles mediante métodos puramente algebraicos (y tal vez esto es lo que quieres decir con teoremas que son verdaderos en geometría analítica pero no en geometría algebraica).
Finalmente, permíteme también mencionar que pueden ocurrir fenómenos muy interesantes cuando estudias la interacción entre los mundos algebraico y analítico, por ejemplo, de la siguiente manera: el espacio de módulos de superficies K3 analíticas es un espacio conectado de 20 dimensiones. El espacio de módulos de superficies K3 algebraicas es un subespacio cerrado, que es la unión de muchas componentes conectadas de 19 dimensiones contables. Esto muestra que algunos problemas, como el estudio de los espacios de módulos, pueden volverse más simples en el régimen analítico que si te restringes al entorno algebrogeométrico.
