Maximizando el beneficio esperado

Question

Supongamos que una persona va a vender Fizzy Cola en un partido de fútbol y debe decidir de antemano cuánto pedir. Supongamos que obtiene una ganancia de $m$ centavos en cada cuarto que vende en el partido pero sufre una pérdida de $c$ centavos en cada cuarto que ha pedido pero no vende. Supongamos que la demanda de Fizzy Cola en el juego, medida en cuartos, es una variable aleatoria continua $X$ con PDF $f$ y CDF $F$, muestra que su beneficio esperado se maximizará si pide una cantidad $$ tal que $$F() = \frac{m}{m + c}$$

¿Cómo puedo demostrar esto?

Answer 1

Piénselo de forma incremental. Sea $G$ la ganancia esperada, y supongamos que ya ha decidido pedir $X$ cuartos. Ahora escriba la ganancia esperada $dG$ al ordenar $dX$ cuartos adicionales. Esa ganancia adicional se puede escribir como una función de $m$, $c$ y $F. Llega un punto donde $dG = 0$, y ese es el punto en el que quiere dejar de aumentar el pedido.