Encuentra los máximos/mínimos de $x\sqrt{16-x^{2}}$

Question

Esta función tiene un intervalo cerrado de (-4, 0), (4, 0), mientras pasa por el origen.

Estoy luchando por encontrar los máximos y mínimos de la función, ya que esta función no tiene una constante independiente. Según mi libro, f tiene un mínimo relativo si f'(x) cambia de negativo a positivo en (c, f(c)), y un máximo relativo de positivo a negativo en (c, f(c)).

Calculé la primera derivada como $\sqrt{16-x^{2}} -\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}$ y los puntos críticos están en $x= -4, 0, 4$. Me han enseñado que para encontrar el máximo/mínimo relativo hay que sustituir el número crítico en f(x), pero en este caso, cero es el único resultado.

Otra dificultad que tengo es que estos cálculos requieren un número de un intervalo dado. Aparte de elegir un número al azar o probar cada posibilidad, ¿cómo se encuentran el mínimo/máximo cuando no hay un número constante en la función?

Answer 1

Creo que has encontrado los puntos críticos incorrectos. Para encontrarlos, se establece $f'(x)=0$, en este caso, $$ \begin{align*} \sqrt{16-x^{2}} -\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}=0 &\implies \sqrt{16-x^2}=\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} \\ &\implies 16-x^2=x^2 \\ &\implies x^2=8 \\ &\implies x=\pm 2\sqrt{2} \end{align*} $$ Por lo tanto, tus puntos críticos son $x=-4,\pm 2\sqrt{2},4$, cuando incluyes los extremos de tu intervalo. Al reemplazar, encuentras que $f(4)=f(-4)=0$, y $f(2\sqrt{2})=8$ y $f(-2\sqrt{2})=-8$. A partir de esto, puedes concluir cuáles son los puntos de máximo y mínimo relativos en tu intervalo.

Answer 2

Pista: $\sqrt{16 - x^2}$ es simplemente $y$ en un círculo con radio 4, por lo que realmente estás maximizando el área de un rectángulo inscrito en un círculo. ¿Qué forma sería esa?

En cuanto al cálculo, creo que tomaste la derivada correctamente y cometiste un error con el álgebra al encontrar los puntos críticos.

Answer 3

¿Dónde encontraste un punto crítico de 0? Te gustaría que $f'(x)$ fuera 0 o indefinido.