¿Por qué necesitamos distinción topológica si los puntos en el conjunto de un espacio topológico son distintos para empezar?

Question

Según el artículo de Wikipedia sobre el axioma de separación:

Sea X un espacio topológico. Entonces dos puntos x e y en X son topológicamente distinguibles si no tienen exactamente los mismos vecindarios (o equivalente, los mismos vecindarios abiertos); es decir, al menos uno de ellos tiene un vecindario que no es vecindario del otro (o equivalente, hay un conjunto abierto al que pertenece un punto pero el otro no).

Esto parece ser simplemente adornar la idea básica de que dado cualquier punto en un espacio topológico, algunos puntos están más cerca de él que otros, manteniéndose distintos sin importar cuán cerca estén otros puntos. Pero si esto es así:

¿Por qué aún necesitamos distinción topológica si los puntos en el conjunto de un espacio topológico son distintos desde el principio?

Answer 1

No es una propiedad del conjunto sobre el que se define la topología, sino la topología en sí misma (que a priori no sabe acerca de los elementos del conjunto).

Donde tal concepto resulta útil es en circunstancias como las siguientes (además de otras):

Tenemos dos espacios topológicos $(X,\tau)$ y $(Y,\tau')$ con el mismo conjunto subyacente, es decir, como conjuntos $X=Y$. Queremos preguntarnos si estos dos espacios son homeomórficos. Es decir, ¿son el 'mismo' espacio topológico para todos los propósitos? Hay que tener en cuenta que aún pueden ser homeomórficos pero tener $\tau\neq\tau'$. Una forma de verificar esto sería demostrar que todos los puntos en $X$ son topológicamente distinguibles (por ejemplo, supongamos que $\tau$ es la topología discreta), y ninguno de los puntos de $Y$ son topológicamente distinguibles (por ejemplo, supongamos que $\tau'$ es la topología indiscreta). Si este es el caso, podemos concluir que $X$ e $Y$ no son espacios homeomórficos.

Es decir, la propiedad 'todos los puntos son topológicamente indistinguibles' es un invariante topológico, lo que significa que si $X$ e $Y$ son homeomórficos, y la propiedad se cumple para $X$, entonces la propiedad también se cumple para $Y.