¿Cómo determinar la existencia de todos los subconjuntos de un conjunto?

Question

Dado

1. La definición de subconjunto;
2. El axioma de juego de poder: para cualquier conjunto $S$, existe un conjunto $\wp$ tal que $X \in \wp$ si y sólo si $X\subseteq S$

sabemos lo que es un subconjunto es y lo que un juego de poder contiene.

En un caso simple donde un conjunto $A$ se supone que existen, con $A=\{a, b, c\}$, sabemos qué es y qué no es un subconjunto de a $A$:

$\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a,c\}, \emptyset$ $A$ son subconjuntos de a $A$ y algo diferente, no es.

$\wp(A)=\big\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a, b, c\}, \emptyset\big\}$.

Sin embargo, la mera definición de algo (y, en consecuencia, es el reconocimiento como tal) no garantiza su existencia. $\emptyset$ $A$ parecer la única subconjuntos cuya existencia es inmediata.

En otras palabras, yo sé lo que es un juego de poder, pero ¿cómo sé que las cosas que contiene existir, en primer lugar?

Porque esta bien definido y existente como, por ejemplo, $\wp(A)$ no debe contener inexistente elementos, para demostrar la existencia de sus elementos es importante. Parece que las dos alternativas que se plantean:

1. Ser un miembro de $\wp(A)$ automáticamente esta cosa para existir;

o

2. No debe ser una alternativa para demostrar la existencia de todos los subconjuntos de a $A$ sin el axioma de juego de poder.

Answer 1

El juego de poder axioma sólo le dice lo que dice: para cada $A$, existe un conjunto $\mathcal{P}(A)$ tal que $$ \text{para todos $B$, $B\in\mathcal{P}(A)$ si y sólo si $B\subseteq A$} $$ No hay ninguna afirmación de la "existencia" de cualquier subconjunto particular de $A$. En $\mathsf{ZFC}$ uno puede mostrar que $|\mathcal{P}(A)|>|A|$, por lo que hay un montón de subconjuntos.

Cabe señalar que, si $A$ es infinito, no hay ninguna esperanza de encontrar, para cada subconjunto de $A$, una fórmula de "describir", debido a que $\mathcal{P}(A)$ es incontable. Este no es sin embargo un problema: el axioma dice que tiene un "contenedor" para todos los subconjuntos de a $A$; cuando se demuestre que un conjunto $B$ es un subconjunto de a $A$, entonces usted sabe que pertenece a $\mathcal{P}(A)$; y, por el contrario, si usted escoge $B\in\mathcal{P}(A)$, usted sabe $B\subseteq A$.

El propósito real de la axioma es que los subconjuntos de un conjunto forma un conjunto. En particular, por ejemplo, las relaciones de equivalencia en un conjunto forma un conjunto que puede ser aislado de $\mathcal{P}(A\times A)$ mediante un predicado y el axioma de separación.

Recuerdo algunas buenas notas acerca de esto en Paul J. Cohen "la teoría de conjuntos y la hipótesis continua".

Answer 2

No creo que en realidad se puede derivar de lo $P(S)$ es para cualquier random $S$, a partir de los axiomas. Tratar de describir $P(\mathbb N)$, por ejemplo.

Si usted ha descrito un conjunto $P'$ y quiero saber si $P'=P(S)$, entonces usted no puede hacer mucho más que tratar de demostrar que $$X\in P'\implies X\subset S\\ X\notin P'\implies X\not\subset S.$$ But that's only if you have found a way to describe $P'$, que no siempre será posible.

Por último, $\emptyset$ $S$ no son los únicos subconjuntos cuya existencia es inmediata, para cualquier conjunto $S$. No es muy difícil demostrar la existencia de conjuntos con más de un elemento. Esto significa que podemos hacer lo siguiente:

Supongamos que tenemos un conjunto no vacío $S$ que no es un singleton, es decir,$(\forall x)(\emptyset\neq S\neq\{x\})$. Ahora, suponga que $P(S)=\{\emptyset, S\}$. $$x\in S\implies \{x\}\subset S\implies \{x\}=\emptyset \vee \{x\}=S$$ Both $\{x\}=\emptyset$ and $\{x\}=S$ give a contradiction, so there have to be subsets of $S$, other than $\emptyset$ or $S$.

Answer 3

1. Axioma de extensionalidad. $\forall x\;\forall y\; (x=y \iff \forall z\;(z\in x \iff z\in y)\;).$

2. Axioma de emparejamiento. $\forall x \;\forall y\;\exists z\;\forall w\; (w\in z\iff (w=x\lor w=y)\;).$

Escribimos $x=\{y,z\}$ como una abreviatura para $\forall w\;(w\in x\iff (w=y\lor w=z)\;).$ es es una abreviatura justificable debido a la extensionalidad. Entonces la existencia de un % de la satisfacción de la $x$ $x=\{y,z\}$es la sincronización.

El axioma del conjunto potencia por sí mismo no implica que sea $A$ es un subconjunto de $A$.

Answer 4

El axioma del par desordenado garantiza existencia para cada puesto que explícitamente afirma para cualquier conjunto, la Unión de que con cualquier otro sistema existe. Existe por lo que estipula que la Unión de cualquier conjunto con sí mismo. La Unión de cualquier conjunto con sí mismo es en sí mismo, por lo tanto cada sistema existe.

Cada subconjunto de la energía es un conjunto, por lo tanto existe cada subconjunto de un conjunto.

Answer 5

El más relevante axioma es en realidad el mencionado por MathematicsStudent1122 y MauroALLEGRANZA, es decir, el Axioma de Separación (a veces llamado especificación). Cuando usted tiene una propiedad expresada por ejemplo en la fórmula, este axioma garantiza que existe un subconjunto cuyos miembros son, precisamente, aquellas entidades que tienen la propiedad o de satisfacer la fórmula.

Por ejemplo, puede escribir la propiedad de un número natural $n$ que $(\exists m\in\mathbb{N})\,\big(n=2m\big)$ lo que significa que $n$ es un entero par. Pero, ¿cómo saber que el conjunto de los números enteros existe? Esa es la función de la separación axioma.

En algunas interesantes teorías matemáticas, usted puede tener predicados que hacer no satisfacer la separación. Una de estas teorías es la de Nelson.