La función $y=x!$ se puede graficar utilizando las funciones gamma, ¿qué función daría factoriales de orden superior como $y=x!!$ donde $x!! = x\cdot(x-2)\cdot(x-4)\cdot\ldots\cdot5\cdot3\cdot1$. Tengo esto: $$\prod\limits_{n=0}^{\lfloor x/k\rfloor-1}(x-kn)$$ Donde k es la cantidad de signos de exclamación, pero obviamente esto solo es válido para valores enteros de k, pero estoy buscando algo que tenga sentido y sea continuo para valores no enteros.
Respuesta
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Para el caso impar podrías tomar
$$\Gamma_2(z) := 2^{(z-1)/2} \int_0^{\infty} t^{(z-1) /2} e^{-t} dt $$
Para $z=1$ tienes 1, y diferenciando por partes obtienes
$$ \Gamma_2(z) = 2^{(z-1) /2} \frac{z-1}{2} \int_0^{\infty} t^{(z-3) /2} e^{-t}dt = (z-1) \Gamma_2(z-2) $$
Así que por inducción obtienes lo correcto. En el caso par obtienes simplemente el semifactorial con una constante al frente resultado de $z=2$, es decir $\Gamma(1/2) $ que creo está relacionado con $\pi$ (quizás $\pi/4$). Puedes resolver este problema multiplicando por una función oscilante:
$$ \left ( 1+ \cos( \pi z/2)^2 \alpha \right ) 2^{(z-1) /2} \Gamma((z-1) /2) $$
Donde $ \alpha = \Gamma(1/2) -1$
