Una clase de endofuntores "internos" en categorías cartesianas cerradas

Question

Estoy interesado en una clase de endofunctores en categorías cerradas cartesianas con una definición bastante natural, y me pregunto si / dónde esta clase ha sido estudiada hasta ahora (y cómo se llama).

Fijemos una categoría cerrada cartesiana con exponencial $\mathcal{C}(-,-)$. Para cualquier morfismo $f : \mathbf{X} \to \mathbf{Y}$, sea $\lambda_f : \mathbf{1} \to \mathcal{C}(\mathbf{X},\mathbf{Y})$ el punto asociado.

Decimos que un endofuntor $d$ es "interno" (por falta de un mejor nombre), si para cualquier par de objetos $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$ hay un morfismo $D : \mathcal{C}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \to \mathcal{C}(d\mathbf{X}, d\mathbf{Y})$ tal que para cualquier morfismo $f : \mathbf{X} \to \mathbf{Y}$ encontramos $\lambda_{df} = D \circ \lambda_f$.

De forma informal, la acción del endofuntor en los conjuntos de homomorfismos se refleja en la acción de algún morfismo entre los espacios de funciones asociados.

¿Has encontrado esta definición antes?

Answer 1

Si también necesitas las compatibilidades obvias, obtienes un functor enriquecido.