Deja que $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Deja que $f : A \to A$ sea inversible, y deja que $g : A \to A$ no sea inversible.

Question

Sea $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Sea $f : A \to A$ invertible, y sea $g : A \to A$ no invertible.

¿Es posible que $f \circ g : A \to A$ sea invertible? Si es así, da un ejemplo. Si no, explica por qué no.

Estoy confundido. ¿Alguna idea de cuál debería ser la respuesta?

Answer 1

Supongamos que $h = f\circ g:A\rightarrow A$ es invertible.

Si es invertible, $h(a_1) = h(a_2)$ tendría que implicar que $a_1 = a_2$, para cualquier $a_1, a_2\in A$. Pero:

$$\begin{align} h(a_1) &= h(a_2);\\ (f\circ g)(a_1) &= (f\circ g)(a_2);\\ f(g(a_1)) &= f(g(a_2)). \end{align}$$

La hipótesis es que $f$ es invertible. Entonces, si $f(g(a_1)) = f(g(a_2))$ implica que $g(a_1) = g(a_2)$. Para que $a_1 = a_2$, $g$ tendría que ser inyectiva. Sin embargo, no podemos afirmarlo con certeza, ya que $g$ no es inversible. Entonces, no podemos afirmar con certeza que $f\circ g$ sea inversible. Aquí hay un ejemplo de dos funciones que siguen las condiciones dadas y se componen en una función no inversible:

$$\begin{align} \text{función }& f:A\rightarrow A & \text{función }& g:A\rightarrow A\\ \hline 1\rightarrow 1 & & 1\rightarrow 1\\ 2\rightarrow 2 & & 2\rightarrow 1\\ 3\rightarrow 3 & & 3\rightarrow 1\\ 4\rightarrow 4 & & 4\rightarrow 1\\ \end{align}$$

Observa que, en este ejemplo, tenemos que $f$ es inversible mientras que $g$ no lo es. Por lo tanto, podemos construir $f\circ g$ como se solicita:

$$\begin{align} (f\circ g)(1) &= f(g(1)) = f(1) = 1;\\ (f\circ g)(2) &= f(g(2)) = f(1) = 1;\\ (f\circ g)(3) &= f(g(3)) = f(1) = 1;\\ (f\circ g)(4) &= f(g(4)) = f(1) = 1.\\ \end{align}$$

Dado que esta no es una función inyectiva, no es inversible.