Estoy aprendiendo la Contracción de Longitud del libro Relatividad Especial y Teoría Clásica de Campos por Leonard Susskind.
Hay dos marcos con velocidad relativa $v$ a lo largo del eje x. Si el marco mío está en reposo, entonces el otro marco se mueve con velocidad $v$ hacia la derecha, es decir, hacia el eje x positivo. La siguiente imagen muestra la línea mundial del marco en movimiento con respecto a mi marco, $\overline{OQ}$ es la longitud de una regla de un metro en mi marco. 
El problema es encontrar la longitud de esta regla medida por un observador en el marco en movimiento con su propia escala. El autor dice que esta longitud es $\overline{OP}$.
Mi pregunta es, ¿por qué $\overline{OP}$ es esa longitud? En otras palabras, ¿por qué diría que la intersección de las líneas mundiales del 'marco en movimiento' y el 'extremo lejano de la regla' en mi marco es el punto correspondiente al extremo lejano de la regla en el marco en movimiento? El observador en el marco en movimiento ve la regla desde cualquier punto en el eje $x'=0$; entonces, ¿por qué el punto P necesita ser la distancia perpendicular desde el punto Q? Más generalmente, ¿cómo sé qué punto en el marco en movimiento corresponde a un punto en mi marco?
Por favor, ayúdame con esta confusión.
Respuestas
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Primero, necesitamos describir ¿cuál es la longitud de un objeto?
La longitud de una regla es la distancia entre las dos coordenadas de los extremos de la regla que se miden simultáneamente. Ahora, 2 eventos simultáneos que ocurren en un marco podrían no ser simultáneos en otro, y ahí es donde entra en juego la contracción de longitud.
La transformación de Lorentz se da por: \begin{equation} \begin{aligned} t^{\prime} &=\gamma\left(t-v x / c^{2}\right) \\ x^{\prime} &=\gamma(x-v t) \end{aligned} \end{equation}
Entonces, en el marco de referencia $(t,x)$ las coordenadas de O y Q son $(0,0)$ y $(0,1)$ respectivamente, pero en el marco de referencia $(t',x')$ la coordenada de $t'$ sería diferente. O tiene coordenada $(0,0)$ mientras que Q tiene (-$\gamma \frac{vx}{c^2}$,$\gamma$).
Para medir la longitud necesitamos que las coordenadas de $t'$ de los extremos sean iguales, lo cual hacemos estableciendo $t'=0$. Así, ahora O sigue teniendo la misma coordenada $(0,0)$ en ambos marcos. Pero, la coordenada del otro extremo está dada por $(0,x')$ donde $x'$ está dado por la intersección de la línea $t'=0 \Rightarrow t= \gamma \frac{vx}{c^2}$ y $x=1$ que es el punto P. Por lo tanto, la longitud de la regla en el marco en movimiento es dada por OP.
La línea perpendicular $x=1$ ($x=0$) es la línea mundial del final (comienzo) de la regla del metro. Debes seguir esa línea desde $Q$ hasta $P$ porque es el punto que es simultáneo con $O$ en el marco priado, es decir, tanto $O$ como $P$ están en $t'=0$.
Entonces $\bar{OP}$ define el objeto en el marco priado; $\bar{OP} < \bar{OQ}$, pero eso no es obvio en el diagrama porque las marcas en $t'$ y $x'$ están dilatadas por un factor de escala:
$$ F=\sqrt{\frac{1+\tan^2{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}}$$
donde el ángulo alpha es:
$$ \alpha \equiv \angle POQ$$
así que:
$$ \tan{\alpha} = \frac v c\equiv\beta $$
Por lo tanto, la longitud de la regla de metro en movimiento ($L=1\,$m) es:
$$ L' = \frac 1 F \times L\sqrt{1+\beta^2}$$ $$ L' = L\sqrt{1+\beta^2}\sqrt{\frac{1-\beta^2}{1+\beta^2}}$$ $$ L' = L\sqrt{1-\beta^2} = \frac L {\gamma} < L$$
