Comenzaré desde un púlpito, pero luego me bajaré y destacaré un artículo reciente muy interesante.
Un modelo cuántico no se define por un Hamiltoniano y un espacio de Hilbert, a pesar de lo que muchos textos redactados descuidadamente parecen decir. Para especificar un modelo, necesitamos especificar sus observables: qué operadores representan qué cantidades medibles. Muchos autores hacen que el lector adivine cuáles son los observables de un modelo, basándose en cómo el autor construyó el Hamiltoniano y el espacio de Hilbert. Las "suposiciones" correctas a menudo pueden ser fuertemente sugeridas por una construcción dada, pero hacer que el lector adivine sigue siendo una mala práctica.
Ahora me bajaré de mi púlpito y llamaré la atención sobre el artículo arXiv:1702.06142 (Locality from the Spectrum). Aquí tienes un extracto del resumen:
...el espectro de energía casi siempre codifica una descripción única de los grados de libertad locales cuando existe tal descripción, lo que permite identificar explícitamente los subsistemas locales y cómo interactúan. Como consecuencia, casi siempre podemos escribir un Hamiltoniano en su presentación local dada solo su espectro.
Esto es lo que quieren decir con "un Hamiltoniano en su presentación local": Dada una factorización del espacio de Hilbert en $n$ "subsistemas" de igual tamaño, un Hamiltoniano con una "presentación local" (en relación con esos subsistemas) se puede escribir como una suma de términos, cada uno de los cuales es un producto tensorial de no más de $k$ operadores de un solo subsistema. Con más detalle, los autores plantean dos preguntas:
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Para un dado $k$, ¿tiene un Hamiltoniano genérico alguna presentación $k$-local? La respuesta es no. La mayoría de los Hamiltonianos no la tienen. Los autores demuestran esto usando un argumento de conteo de dimensiones. (Ten en cuenta que las CFT locales estrictamente no siempre tienen versiones de retícula estrictamente locales. Consulta el artículo para un comentario especulativo sobre la localidad aproximada).
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Si un Hamiltoniano dado tiene una presentación $k$-local, ¿es esa presentación única? Definen "único" módulo varias equivalencias naturales cuyos detalles no repetiré aquí. Los autores no responden directamente a esta pregunta de unicidad, pero sí derivan un resultado relacionado: Si hay un solo ejemplo de un Hamiltoniano $k$-local en $n$ subsistemas del tamaño dado cuya presentación $k$-local es única (módulo equivalencias naturales), entonces casi todos los Hamiltonianos $k$-locales en $n$ subsistemas del tamaño dado también tienen presentaciones $k$-locales únicas (otra vez, módulo equivalencias naturales).
Los autores asumen un espacio de Hilbert de dimensión finita, pero esto no es necesariamente una restricción severa en la práctica. En palabras de los autores:
Todos los resultados presentados se derivan para modelos con un número finito de subsistemas de dimensión finita. Tales modelos se pueden utilizar para aproximar teorías cuánticas de campos regularizadas... Pueden existir sutilezas interesantes para sistemas de dimensión infinita... Sin embargo, especulamos que resultados de un espíritu similar seguirían siendo válidos en el límite de un gran sistema.
Estos resultados no contradicen el párrafo de mi púlpito al principio de esta respuesta, pero ilustran de una manera sorprendente que "las 'suposiciones' correctas a menudo pueden ser fuertemente sugeridas" incluso si el Hamiltoniano es el único observable que está explícitamente especificado.
