"Un cicloide es la curva trazada por un punto en el borde de una rueda circular como la rueda rueda a lo largo de una línea recta." - Wikipedia
En muchos libros de cálculo que tengo, la cicloide, en forma paramétrica, se utiliza en ejemplos para encontrar la longitud de arco de ecuaciones paramétricas. Esta es la ecuación paramétrica de la cicloide:
$$\begin{align*}x &= r(t - \sin t)\\ y &= r(1 - \cos t)\end{align*} $$
¿Cómo estas ecuaciones se encuentran en primer lugar?
$t$ mide el ángulo que ha girado la rueda, a partir de su punto en la posición "abajo". Ya está rodando la rueda, la distancia ha rodado es la distancia a lo largo de la circunferencia de la rueda de su punto en la posición "abajo", que (puesto que la rueda tiene radio $r$) es $rt$. Así que el centro de la rueda, que estaba inicialmente en $(0,r)$, está ahora en $(rt,r)$. Su punto es desplazado de este $-r\sin(t)$ horizontalmente y $-r\cos(t)$ verticalmente, así que es $(rt - r\sin(t), r - r\cos(t))$.
Aquí está una representación de dibujos animados de lo que Roberto y Ross fueron mostrando, cortesía de Stan Wagon:
Este libro es un gran recurso. Ver pdf de la página 599, real de la página 567.
Usted debe ir a la página antes de seguir leyendo y al leer el resto del post.
En ella, se explica todo muy coherente y rompe la derivación en 4 pasos: encontrar una ecuación para la ubicación del centro del círculo (coordenadas x e y), y, a continuación, encontrar la ecuación para el punto P en en referencia al centro.
Vamos a empezar tratando de encontrar en el centro del círculo se encuentra en el ángulo de $\theta$. La coordenada x va a ser igual a la distancia recorrida, la cual es la misma cosa como la longitud del sector del círculo que ya hemos recorrido. El sector es igual al radio de veces el ángulo central, por lo que el centro será a las $x = a \theta$
La coordenada y del centro en cualquier momento, es realmente fácil, ya que el centro es siempre la altura de la radio, que es $a$. Por lo tanto, el centro está en las coordenadas $(a\theta, a)$ en el ángulo $\theta$.
Ahora, vamos a intentar encontrar la ubicación de un punto P en referencia al centro. Vamos a empezar con la coordenada x.
En el ángulo $\theta$, P comenzará por la zaga, a continuación, saltar, a continuación, volver a donde comenzó. Por lo tanto, queremos empezar restando $0a$,$1a$,$0a$, -$1a$,, a continuación, volver a $0$ nuevo. Este comportamiento es conocido por $a \sin \theta$, por lo que nuestra coordenada x es ahora completa: $x = a\theta - a \sin \theta = a(\theta - \sin \theta)$
Ahora para la coordenada y. Para obtener la altura de un punto P en el ángulo $\theta$, nos damos cuenta de que comienza a continuación el centro, luego se va por encima del centro, luego de vuelta abajo. Por lo tanto, queremos restar $1a$,$0a$, $-1a$ (agregar $1a$), a continuación, volver a $0a$ nuevo. El patrón de $(1, 0, -1, 0, 1)$ es exhibida por $a \cos \theta$, por lo que queremos restar esta desde el centro, dándonos $y = a - a \cos \theta$ o $y = a(1 - \cos \theta)$.
Ahora, hemos terminado. Nuestros dos ecuaciones son $$x = a(\theta - \sin \theta)$$ $$y = a(1 - \cos \theta)$$.
El centro del círculo se mueve a lo largo de una línea horizontal a velocidad constante. Si queremos que las cúspides a ser a $y=0$, lo que significa que el centro debería ser $(x_c,y_c)=(rt,r)$. A continuación, añadimos la ubicación del punto en el borde de la llanta con respecto al centro. Esto será algo como $(r\cos t, r\sin t)$, pero todavía tenemos que conseguir que la fase de la derecha. Si empezamos con el punto en el borde en $(0,0)$ $t=0$ la llanta punto se encuentra en un ángulo de $\frac {-\pi}2$$t=0$, es decir, apuntando directamente hacia abajo. Un poco de tocar el violín con las fases se obtiene la expresión que usted cita. La escala entre el centro de movimiento y la rotación se establece el requisito de que no haya deslizamiento, lo que significa que la velocidad del punto en el camino debe ser $0$.
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