Si la probabilidad de que se pierda el marco es $P$. Luego, calcula la media de transmisiones para que el marco tenga éxito.

Question

Aquí la probabilidad de que se pierda el marco es $P$. Entonces la probabilidad de que el marco llegue de manera segura sería $(1-P)$

Ahora consideremos que el marco llegará de manera segura en la $k$-ésima transmisión. Eso significa que el marco se perdió $k-1$ veces y se alcanzó en la $k$-ésima vez con probabilidad $(1-P)$. Ahora un marco requiere $k$ transmisiones exactamente cuando los primeros $k-1$ intentos fallan .... esto sucede con probabilidad $P^{k-1}$ y la $k$-ésima transmisión tiene éxito, esto sucede con probabilidad $1-P$

Para $k=1$, la probabilidad $= (1-P)$

Para $k=2$, la probabilidad $= P(1-P)$

Para $k=3$, la probabilidad $= P^2(1-P)$

Entonces, el número promedio de transmisiones será $= (1-P) + P(1-P) +$ $P^2(1-P) + \ldots$ Que me da $1$ Pero aquí el promedio de la transmisión tendrá que calcularse, no el promedio de probabilidad. ¿Entonces cómo se calcula el promedio de la transmisión? Pero la solución dice,

$\sum_{k=1}^{\infty} kP_k$

$= \sum_{k=1}^{\infty} k(1-P)P^{k-1}$

$= (1-P)\sum_{k=1}^{\infty}kP^{k-1}$

$= (1-P)\frac1{{(1-P)}^2}$ $= \frac1{{(1-P)}}$

No entiendo cómo multiplican $P^{k-1}(P-1)$ por $k$

Answer 1

$$E(X) = \sum_{x \in X} x * p(x)$$ aquí

$$p(X=x) = P^{x-1}(1-P)$$ $$E(X) = \sum_{x = 1}^{\infty} xp(X=x) = \sum_{x = 1}^{\infty} xP^{x-1}(1-P)=\frac{1}{1-P}$$

inicialmente calculaste esto: $$\sum_{x \in X} p(x)=1$$